Cohomology of$\Bbb CP^{\infty}=BU_1, BU_2,\dots$: una solicitud de referencia

Question

Donde puedo encontrar el cálculo de la cohomology anillos de la clasificación de los espacios de $BU_n,~BO_n$$BO,~BU$? Tomé una clase en la que se hizo amplio uso de estos cohomology de los anillos, pero me perdí la conferencia donde el resultado fue derivado (así que sé lo que es, pero yo realmente no entiendo cómo se obtiene).

De lo que deduzco, el profesor utiliza espectral de las secuencias y la inducción en $n$$BU_n$, así que me gustaría una prueba utilizando el espectro de la secuencia apropiada de la fibration. Si esto existe en algún lugar como un ejercicio guiado (o si alguien puede hacer de uno) que sería aún mejor!

En una nota relacionada, no tengo idea de lo $BU$ (e $BO$) representan en realidad. Se han definido en las conferencias directo como límite de la $BU_n$ donde uno puede inyectar $BU_n$ a $BU_{n+1}$ a través del mapa de $P\mapsto \Bbb C\cdot e_0\oplus\sigma(P)$ donde $\sigma$ cambios de la base de vectores de $\Bbb C^{\infty}$ por uno. Contrario a $BU_n$, no entiendo lo $BU$ está hecho, y lo que los mapas $f:X\to BU$ clasificar.

Answer 1

La clase que se están tomando? Este material no es fácil. Usted debe preguntar a su profesor para solicitar una prueba o algunos consejos.

No es un "simple" prueba no el uso del espectro de las secuencias en el aquí y es bastante fácil de leer. Notar que hay un error evidente en la prueba.

Espero que David Speyer o alguien más puede dar una respuesta en el espectro de la secuencia(que no sé). La clasificación de espacio $BU$ se define como el cociente de $EU$$U$, tanto como la definición de cualquier otra clasificación de los espacios. El uso de homotopy fibra de la inclusión $BH\rightarrow BG$ nos puede mostrar si las dos $H,G$ son homotopy equivalente, a continuación, su clasificación de espacio es wealy homotopically equivalente. Así que esta reducción en el caso de $BGL(\mathbb{C})$ $BGL(\mathbb{\mathbb{R}})$ para el caso de $BU$$BO$.

Ahora, considere el fibration $$U_{n-1}\rightarrow U_{n}\rightarrow \mathbb{S}^{2n-1}$$ si consideramos, $U_{n-1}$ dar un ortonormales base para $\mathbb{C}^{n-1}$. Por lo que su integración en $U_{n}$ nos dejó con la elección de la última base, que es en $\mathbb{S}(\mathbb{C}^{n})=\mathbb{S}^{2n-1}$. Ahora considere el Gysin secuencia que hemos

$$H^{i}(BU_{n})\rightarrow H^{i+2n}(BU_{n})\rightarrow H^{i+2n}(BU_{n-1})\rightarrow H^{i+1}(BU_{n})..$$

Aquí la primera flecha de la copa del producto con la clase de Euler $c_{n}$$BU_{n}$. La segunda flecha es el cohomological tire hacia atrás de la anterior fibration mapa. El tercero es la integración en $\mathbb{S}^{2n-1}$. Por espectral de las secuencias de uno debe ser capaz de concluir que $BU_{n}$ en grados menos de $2n$ son todos, incluso, que tira de espalda a los generadores de $BU_{n-1}$. Alternativamente, podemos concluir esta notando $U_{n}\cong \Omega G_{n}(\mathbb{C}^{\infty})$, lo $BU_{n}\cong G_{n}(\mathbb{C}^{\infty})$ sólo puede tener incluso el grado de generadores.

Esto implica la extraña cohomology de $BU_{n}$ se desvanece. Así que por inducción tenemos que $$H^{*}(BU_{n})\cong H^{*}(BU_{n-1})\otimes \mathbb{Z}[c_{n}]$$once we establish the cup product with $c_{n}$ es inyectiva.

Lo siento, me olvidé de la "referencia" de la solicitud, te recomiendo la lectura de los capítulos 3 y 4 de Hatcher. Este material está cubierto en detalle en la página 444, libro, página 435.