$6$ puntos en el plano con distancias específicas

Question

¿Existen $6$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos son colineales, ninguna de las cuales cuatro son cíclicos y para cada una de las $1\le i \le 5$, existe un número tal que se cuenta exactamente $i$ veces la distancia entre dos puntos de los $6$ puntos?

Vi una pregunta similar a esta, de tal manera que en esa pregunta, en lugar de $6$ puntos, el problema pide $5$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos fueron colineales, no cuatro de ellos eran cíclicos y para cada una de las $1\le i \le 4$, existe un número tal que se contó exactamente $i$ veces la distancia entre dos puntos de los $5$ puntos...

En esa pregunta, la respuesta fue que sí, y existe como un ejemplo, pero podría alguien decirme cuál es la respuesta de la pregunta para $6$ puntos?

EDIT: Como se pide, para la versión más fácil, considere la posibilidad de $3$ $A,B,C$ como vértices de un triángulo equilátero de lado de longitud de $a$, punto de $D$ tal que $DA=a$$120&lt\angle DAB&lt180$, y considerar la posibilidad de $E$ como el tercer vértice de un triángulo equilátero que tiene un lado $DB$.

Answer 1

La respuesta es sí.

Con la ayuda de Mathematica, encontré la siguiente solución:

ps

Las distancias son:$$\begin{array}\\T_1=(1,0)\\T_2=(-1,0)\\T_3=\left(\frac18(-5+\sqrt{73}),-\frac14\sqrt{\frac12(7+13\sqrt{73})}\right)\\T_4=\left(-\frac18(-5+\sqrt{73}),\frac14\sqrt{\frac12(7+13\sqrt{73})}\right)\\T_5=\left(\frac14(3+\sqrt{73}),\frac12\sqrt{\frac12(-5+\sqrt{73})}\right)\\T_6=\left(-\frac14(3+\sqrt{73}),-\frac12\sqrt{\frac12(-5+\sqrt{73})}\right)\end{array}$$$\begin{array}\\d_1=\sqrt{2(9+\sqrt{73})}\\d_2=\sqrt{\frac12(3+\sqrt{73})}\\d_3=\sqrt{7+\sqrt{73}}\\d_4=\frac12\sqrt{25+3\sqrt{73}}\\d_5=2\end{array}$ d_i$ where $ i $ times.

Con algunos cálculos, uno puede verificar que no haya tres puntos colineales ni cuatro puntos cíclicos.

Agregado: una imagen:

Answer 2

Creo que esto funciona, aunque no he calculado todo.

Deje $A,B,C$ ser los vértices de un triángulo equilátero de lado a $s$. Caída perpendicular de $B$ $AC$y se extienden más allá de $AC$ a un punto de $D$ $BD$ de la longitud de la $s$. Del mismo modo, la caída perpendicular de $C$ $AB$y se extienden más allá de $AB$ a un punto de $E$ $CE$ de la longitud de la $s$. Hay dos lugares donde se puede poner un punto de $F$ hacer $DEF$ equilátero; elegir la más cercana a $A$.

Usted obtener $AB=AC=BC=BD=CE$; $AD=CD=AE=BE$; $DE=DF=EF$; $BF=CF$. Si no hay ningún otro igualdades, entonces esto resuelve el problema. Es claro que $AB\ne AD$, $AB\ne BF$, $AB\ne BF$, $AD\ne DE$, $AD\ne BF$, $DE\ne BF$, $DE\ne AF$, $BF\ne AF$, pero hay todavía un poco más para comprobar.

Answer 3

Deje que los puntos sean$(-3,0), (-1,0), (1,0), (3,0), (0,\sqrt{\frac{1}{3}}), (0,- \sqrt{\frac{1}{3}})$. Para distancias,$6, 4, 2, \frac{\sqrt{28}}{3}, \frac{2}{\sqrt{3}}$ aparece 1, 2, 3, 4, 5 veces, respectivamente.