Dado un polinomio mínimo de$a$, calcule el polinomio mínimo de$a^2$

Question

Deje $a\in\mathbb C$ ser una raíz de $f=X^3-X-1\in\mathbb Q[X]$.

a) Mostrar que $f$ es irreductible.

b) Mostrar que el $b:=2a^2-a-2\neq 0$.

c) Calcular el polinomio mínimo de a $a^2$.

Ahora, a) y b) son triviales y quiero ver c). Deje $g$ ser el polinomio mínimo de a $a^2$. Tenemos que $\mathbb Q(a^2)$ es un subcampo de la $\mathbb Q(a)$ que es de grado $3$ por una), así que o $g=X-a^2$ o $g$ es de grado 3. El primer caso no puede ser desde $a^2\notin\mathbb Q$, lo $g$ es de grado 3. Hay una forma inteligente de encontrar? Probablemente tiene algo que ver con $b$ pero no puedo ver todavía.

Answer 1

Dejar $b=a^2$. \begin{align*} \text{Then}\;\;&a^3-a-1=0\\[4pt] \implies\;&ab-a-1=0\\[4pt] \implies\;&a=\frac{1}{b-1}\\[4pt] \implies\;&\left(\frac{1}{b-1}\right)^3-\left(\frac{1}{b-1}\right)-1=0\\[4pt] \implies\;&\frac{b^3-2b^2+b-1}{b-1}=0\\[4pt] \implies\;&b^3-2b^2+b-1=0\\[4pt] \end{align*}

Answer 2

Sugerencia :

Met$a, b,c$ las raíces de$f$. Use las relaciones de Vieta: debe determinar$\sum_a a^2$,$\sum_{a\ne b} a^2b^2$ y$a^2b^2c^2$, sabiendo que$$\sum_a a =0,\quad\sum_{a\ne b} ab=-1 \quad\text{and}\quad abc=-(-1)=1.$ $ Ahora, por supuesto,$a^2b^2c^2=(abc)^2=1$,$$\sum_a a^2=\Bigl(\sum_a a)^2-2\sum_{a\ne b} ab=2$ $ y $$\sum_{a\ne b} a^2b^2=\Bigl(\sum_{a\ne b} ab\Bigr)^2-2\sum_{a\ne b\ne c} (ab)(bc)=(-1)^2-2\sum_{a\ne b\ne c} ab^2c=1-2abc\sum_a a=1,$ $, por lo que el polinomio mínimo de$\:a^2, b^2, c^2\:$ es$$X^3-2X^2+X-1.$ $

Answer 3

En primer lugar observamos que el grado de la extensión de $\Bbb Q(a)$ $Q$ $3$ así que no hay intermedio campo de extensiones tanto de $\Bbb Q(a^2)=\Bbb Q$ o $\Bbb Q(a^2)=\Bbb Q(a)$. El primero es absurdo, porque, a continuación, $\Bbb Q(a)$ sería un grado $2$ de extensión con polinomio irreducible $x^2-a^2$.

Para saber el grado de la extensión de $\Bbb Q(a^2)$$\Bbb Q$$3$, por lo que vamos a encontrar un polinomio irreducible $p$ grado $3$ $p(a^2)=0$

$$p(x)=x^3+b_2x^2+b_1x+b_0$$ using the relation in $\Bbb P(a)$ that $^3=un+1$ sustituto

$$\begin{split}p(a^2)&=a^6+b_2a^4+b_1a^2+b_0\\ &=(a+1)^2+b_2a(a+1)+b_1a^2+b_0\\ &=a^2(1+b_2+b_1)+a(2+b_2)+(b_0+1)\\ &=0 \end{split}$$ Por lo que el establecimiento $b_0=-1$ $b_2=-2$ y $b_1=1$ da

$p(x)=x^3-2x^2+x-1$

$p$ es monic y $p(a^2)=0$ ya no menor grado del polinomio $f$ puede tener $f(a^2)=0$ (esto daría un intermedio de extensión) $p$ es mínimo

Answer 4

Solo puede reducir$a^6$ usando la relación para$a^3$ que conoce.

Answer 5

Sugerencia: Suponga que un polinomio no constante $p(x)$ grado $n$ tiene raíces $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ en algunos algebraicas cierre del coeficiente de campo, que es $$p(x) = p_n(x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_n)$$ Ahora establecer $$\begin{align} q(x^2) &= (-1)^n p(x)\,p(-x)\tag{1} \\ &= p_n^2(x^2 - \alpha_1^2)\cdots(x^2 - \alpha_n^2) \\\therefore\quad q(y) &= p_n^2(y - \alpha_1^2)\cdots(y - \alpha_n^2) \end{align}$$ Por lo tanto $q$ tiene raíces $\alpha_1^2,\ldots,\alpha_n^2$. Si $p$ es monic, por lo que es $q$. Sin embargo, $q$ podría no ser irreductible. Tenga en cuenta que los coeficientes de $q$ puede ser calculada a partir de los coeficientes de $p$ el uso de $(1)$; por lo tanto todos los cálculos tienen lugar en el coeficiente de campo.

Generalización: Dado $p$ e las $\alpha_i$ antes y un polinomio $s$, la resultante $\operatorname{Res}_x\bigl(p(x),y-s(x)\bigr)$ se obtiene un polinomio en $y$ cuyas raíces son la $s(\alpha_i)$.