Integración por sustitución en u.

Question

Evaluar $$\int_0^1 x^2 \cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\cos\left(\sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\right) \mathrm{d}x$$ Mi intento: Deja que $u = \dfrac{x^3}{3}+1$ así que $\mathrm{d}u = x^2\mathrm{d}x$ $$\int_0^1\cos(u)\cos(u)\mathrm{d}u$$ Entonces estoy atascado tratando de integrar $\cos^2(x)$ . Cualquier ayuda es buena. Gracias.

Answer 1

$$\int_0^1x^2\cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\cos\left(\sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\right)\mathrm{d}x$$ Dejemos que $u = \sin\left(\dfrac{x^3}{3}+1\right)$ así que $\mathrm{d}u = x^2\cos\left(\dfrac{x^3}{3}+1\right)$ . También tenemos que cambiar los límites de la integración. Así que de $u = \sin\left(\dfrac{x^3}{3}+1\right) $ , conectando $\left[0,1\right]$ obtenemos $\left[\sin(1),\ \sin\left(\dfrac43\right)\right]$ como los límites. Así que ahora nuestra integral se reduce a \begin {align*} \int_ { \sin (1)}^{ \sin\left ( \frac43\right )} \cos (u) \ \mathrm {d}u &= \bigg [ \sin (u) \bigg ]_{ \sin (1)}^{ \sin\left ( \frac43\right )} \\ &= \sin\left ( \sin\left ( \frac43\right ) \right ) - \sin ( \sin (1)) \end {align*}

Answer 2

Dejemos que $\sin \left(\frac{x^3}{3}+1\right)=u$ entonces $x^2 \cos \left(\frac{x^3}{3}+1\right)\mathrm dx=\mathrm du$ ,

Usando todo esto tenemos, $$\int x^2 \cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\cos\left(\sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\right) \mathrm{d}x=\int \cos(u) \mathrm du$$

¿puede terminar desde aquí?

Answer 3

Vas por buen camino. Cuando hagas la sustitución, no olvides cambiar también los límites de integración. Así obtendremos $$\int_0^1 x^2 \cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\cos\left(\sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\right) \mathrm{d}x = \int_1^{\frac{4}{3}} \cos(u)\cos(\sin(u)) \mathrm{d}x$$ Ahora, haciendo otra sustitución $v=\sin(u)$ , $\mathrm{d}v=\cos(u)\mathrm{d}u$ obtenemos \begin {align*} \int_1 ^{ \frac {4}{3}} \cos (u) \cos ( \sin (u)) \mathrm {d}x &= \int_ { \sin {1}}^{ \sin { \frac {4}{3}}} \cos v \mathrm {d}v \\ &= \sin\sin\frac {4}{3}- \sin\sin1 \end {align*} Por supuesto, podríamos haber obtenido esto haciendo la sustitución $v = \sin\left(\frac{x^3}{3}+ 1\right)$ en primer lugar.

Answer 4

Dejemos que $$u = \sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)$$

$$ \frac{du}{dx} = x^2\cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)$$

$$\int_0^1 \cos u \ du = \left(\sin \sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right) \right)_0^1 = \sin \sin\left(\frac{4}{3}\right) - \sin \sin\left(1\right) =0.08$$

Answer 5

$$\int_0^1 x^2 \cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\cos\left(\sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)\right) dx$$ Dejemos que $u=\sin\left(\frac{x^3}{3}+1\right)$ entonces $$du=x^2\cos\left(\frac{x^3}{3}+1\right)dx$$ Así que ahora $$\int_{\sin 1}^{\sin\frac43} \cos u\ du=\sin\left(\sin \frac43 \right)-\sin\left(\sin 1\right)$$