$T$ es una transformación lineal de$M(n,\Bbb R)$ a$M(n,\Bbb R)$ y$A$ una matriz no nilpotente nula de orden$n\times n$,$T(X)=(A-I)X$, entonces lo que hará ser el rastro de$T$?
Respuesta
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Para $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2 =: [n]^2$, vamos a $E_{i,j}$ $n\times n$ matriz con un $1$ $i,j$ entrada y ceros en otros lugares. El conjunto $\{ E_{i,j} : (i,j) \in [n]^2\}$ forma una base de $M(n, \mathbb R)$. Nota:$M(n, \mathbb R) \simeq \mathbb R^{n^2}$, y, por tanto, $E_{i,j}$ puede ser identificado con el estándar ortonormales base del interior-espacio del producto $\mathbb R^{n^2}$ (una vez que enumerar $[n]^2$). Esto convierte a $M(n, \mathbb R)$ interior-espacio del producto, y por lo tanto,$\operatorname{tr}(T) = \sum_{i, j} \langle T E_{i,j}, E_{i,j} \rangle$, donde el interior del producto en $M(n, \mathbb R)$ se calcula mediante el envío de matrices en $M(n, \mathbb R)$ a los vectores en $\mathbb R^{n^2}$ informática y el estándar interno-producto no.
Deje $e_1, \dots, e_n$ ser el estándar de la base de $\mathbb R^n$. Desde $A$ es nilpotent, es traceless, es decir, $\sum_{i=1}^n \langle A e_i, e_i \rangle = 0$, de la que podemos deducir $ \sum_{i,j} \langle Un E_{i,j}, E_{i,j} \rangle = 0. $ No es difícil comprobar que $\sum_{i,j} \langle I E_{i,j}, E_{i,j} \rangle = n^2$. Utilizando la fórmula anterior para $\operatorname{tr}(T)$, nos encontramos con $$ \operatorname{tr}(T) = \sum_{i,j} \langle (a - I) E_{i,j}, E_{i,j} \rangle = \sum_{i,j} \langle Un E_{i,j}, E_{i,j} \rangle - \sum_{i,j} \langle me E_{i,j}, E_{i,j} \rangle = -n^2. $$
Una manera alternativa de ver esto: si el isomorfismo $M(n, \mathbb R) \to \mathbb R^{n^2}$ está dado por apilado verticalmente la columna $1$, $\dots$, la columna de $n$ de una matriz, entonces la representación de la matriz de "$T = A-I$ " $M(n, \mathbb R)$ operador $A \otimes I - I \otimes I$ (donde $\otimes$ es el tensor o producto de Kronecker), y el uso de la propiedad $\operatorname{tr}(U \otimes V) = \operatorname{tr}(U) \operatorname{tr}(V)$, tenemos $ \operatorname{tr}(T) = \operatorname{tr} (\otimes I - I \otimes I) = 0 \cdot n - n \cdot n = -n^2. $
