¿Cómo explica la teoría BCS el efecto Meissner?

Question

Alguien dice que podemos derivar el Ecuaciones GL de La teoría de BCS que puede explicar Efecto Meissner pero quiero una imagen física más clara de este fenómeno.

Answer 1

El resultado es la ruptura espontánea de la simetría de global $U(1)$ a $\mathbb{Z}_2$ y la concomitante rigidez de la omnipresente fase coherente a la que el sistema se rompe. Sin embargo, tanto la acción microscópica como el estado básico BCS (3) de un superconductor poseen local $U(1)$ simetría gauge.

Por rigidez me refiero a algo que recuerda a la fuerza de restauración que se siente cuando se intenta doblar o distorsionar un palo sólido y que, fundamentalmente, tiene su origen en la ruptura de la simetría traslacional en un sólido cristalino típico. Obsérvese que esta fuerza global $U(1)$ La ruptura de la simetría no contradice Teorema de Elitzur que prohíbe la ruptura espontánea de la simetría gauge local. El valor de esta fase en un estado básico de superconductividad no es observable (incertidumbre máxima) ya que hay que integrar sobre $\phi\in[0,2\pi)$ para recuperar la conservación de las partículas. No obstante, su variación en el espaciotiempo, y por lo tanto su rigidez, no sólo es físicamente observable sino también crucial, especialmente en Efecto Meissner y el efecto Josephson.

La forma del estado básico de BCS (3) (dada al final) dice, todos los pares de Cooper de diferentes momentos $\vec{k}$ comparten exactamente la misma fase relativa dentro del par $\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$ es decir, la mencionada fase coherente omnipresente es casi del mismo valor dentro de todo el superconductor. Lo mismo ocurre con la función de hueco $\Delta$ en el término de interacción BCS de campo medio $\Delta c^{\dagger}\left(x\right)c^{\dagger}\left(x\right)+\textrm{h.c.}$ . Esto también manifiesta la ruptura de la simetría a $\mathbb{Z}_2$ sólo por eso $\{0,\pi\}$ transformación de fase de $\{c,c^\dagger\}$ hace que el término sea invariable. (Véase también esta buena respuesta Gracias a una discusión con el autor de la misma, conseguí corregir las inexactitudes de mi respuesta).

En la fase superconductora, se puede elegir el gauge unitario para que el campo de Goldstone $\phi(x)=0$ en todas partes y sin duda llegar a algún nuevo $A'_\mu$ (físicamente innecesario, sin embargo, teniendo el mérito de la desaparición de los modos de Goldstone y sin el fantasma de Faddeev-Popov). O bien se puede sustituir el campo gauge sin masa $A_\mu$ por una nueva definición de campo vectorial no galvánico $-\frac{e^*}{c}A'_\mu\equiv \hbar\partial_\mu\phi-\frac{e^*}{c}A_\mu$ conservando los tres grados de libertad totales. De todos modos, el nuevo $A'_\mu$ es manifiestamente masivo en el lagrangiano efectivo. Y parece que los fotones acoplados a un superconductor sufren una especie de ruptura explícita de la simetría gauge y adquieren masa a través de este mecanismo de Higgs abeliano, que restringe el campo electromagnético de largo alcance a una especie de potencial de Yukawa que decae exponencialmente. Esto no es más que el Efecto Meissner aclarado debajo de la Ec.(1).

Y en consecuencia, un estado cuántico coherente macroscópico con rigidez de fase al igual que (3), se construye. En términos equivalentes, se trata de un fenómeno en el que la fase mecánica cuántica alcanza dimensiones macroscópicas, lo cual es algo natural para los bosones (por ejemplo, la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez bosónica de ${}^4\mathrm{He}$ ), y sorprendentemente también se consigue mediante la formación de pares de Cooper de fermiones.

Si necesita más cálculos

• La rigidez dicta el efecto Meissner. Como es bien sabido, en presencia de un campo electromagnético (no importa si es uno penetrante o uno convencional), la función de onda gana un Aharonov-Bohm $U(1)$ fase $\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$ donde la fase no integrable $\chi=\int{A_\mu\mathrm{d}x^\mu}$ puede, en general, depender de la trayectoria. ¿Y si este sistema posee cierta rigidez de esta distribución de ángulo de giro $\chi(x)$ ? Por analogía con la torsión o distorsión en un cuerpo sólido, un término macroscópico $\int{\frac{1}{2}\kappa(\nabla\chi)^2\mathrm{d}V}$ surge en la energía libre de este sistema. Un análisis más detallado en la teoría BCS le da efectivamente un aumento de la energía libre (c.f. última sección de esta respuesta) $$ \Delta G=e^2\frac{\rho}{2m}\int{A^2}\mathrm{d}V, $$ donde la densidad de electrones $\rho=\langle\psi^*(x)\psi(x)\rangle$ (grados de libertad de espín despreciados para el nonce). Y como resultado de esto, obtenemos una de las ecuaciones de London $$ \vec{j}_d=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=-e^2\frac{\rho}{m}\vec{A},\tag{1} $$ que es el famoso $j\propto A$ relación. Combinado con la Ec. de Maxwell $\vec{j}=\nabla\times\vec{H}$ (siempre y cuando $\vec{A}$ no tiene dependencia temporal), se puede obtener fácilmente el decaimiento exponencial de $\vec{A}$ o $\vec{B}$ en el interior del superconductor, es decir, el efecto Meissner es requerido obligatoriamente por esta rigidez. En pocas palabras, la superconductividad sirve como mecanismo que resiste la generación de la fase Aharonov-Bohm debido al campo electromagnético penetrado.

• ¿Por qué persiste la corriente diamagnética? En mecánica cuántica, la corriente eléctrica es igual a la corriente paramagnética restada por la corriente diamagnética $$ \vec{j}=\vec{j}_p+\vec{j}_d\equiv [\frac{1}{2m}(\psi^*\hat{\vec{p}}\psi-\psi\hat{\vec{p}}\psi^*)]+[-\frac{q}{m}\vec{A}\psi^*\psi].\tag{2} $$

  1. En un estado normal, la presencia de $\vec{A}$ también aumenta la energía libre, sin embargo, de una manera relativamente banal, es decir, $\Delta G=\frac{1}{2}\chi\int{(\nabla\times\vec{A})^2\mathrm{d}V}$ . Junto con las ecuaciones de Maxwell, sólo se conserva una pequeña corriente diamagnética de Landau $\vec{j}=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=\nabla\times\vec{M}$ , donde $\vec{M}$ es la magnetización local. Esto se debe a que la $\vec{j}_p$ y $\vec{j}_d$ en la Ecuación (2) se cancelan entre sí, como es fácil de comprobar una vez que se observa que $\psi$ contiene la mencionada fase Aharonov-Bohm $\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$ .
  2. Por otro lado, no hay tal cancelación en una fase superconductora . Corriente paramagnética $\vec{j}_p$ obviamente contiene alguna derivada espacial de la fase en $\psi(x)$ es decir, una especie de torsión de la función de onda. Sin embargo, esta torsión no se ve favorecida energéticamente, ya que la rigidez antes mencionada. En retrospectiva, se podría pensar incluso en una forma descuidada -- la rigidez repele $\vec{A}$ fuera, no $\vec{A}$ no hay fase Aharonov-Bohm en $\psi$ , $\vec{j}_p=0$ en consecuencia. De todos modos, la corriente diamagnética $\vec{j}_d$ en (1) persiste perfectamente al final. (Anulado en parte por el $\vec{j}_p$ cuando $0<T<T_c$ en realidad).

• La teoría BCS proporciona el mecanismo microscópico que produce esta rigidez.

  1. Desde el punto de vista de la teoría de campos de la teoría BCS, podemos introducir campos bosónicos auxiliares $\Delta\equiv |\Delta(x)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(x)},\bar{\Delta},\varphi$ para realizar la transformación de Stratonovich-Hubbard en la acción BCS $S$ . Después, parte de la acción dice $\frac{1}{2m}\sum_\sigma{\int{(\nabla\theta(x))^2\bar{\psi}_\sigma(x)\psi_\sigma(x)\mathrm{d}V}}$ , en el que $\psi$ es el campo fermiónico original, que manifiesta notablemente la rigidez de fase $\theta$ . De hecho, $\Delta$ corresponde al hueco superconductor o al parámetro de orden. Además, tras tediosas manipulaciones y aproximaciones para construir una teoría efectiva de baja energía de $\varphi$ y $\theta$ podemos calcular directamente para demostrar que el función de correlación de la densidad de corriente paramagnética $\langle j_p^\alpha(x)j_p^\beta(0)\rangle$ se desvanece cuando $T=0$ , lo que sin duda respalda nuestra discusión anterior en la sección 2. Incluso se puede ver que esto se debe a la existencia de la brecha $\Delta$ .
  2. Para conectar la citada fase $\theta$ de $\Delta$ con la fase de la función de onda, podríamos recurrir al estado básico BCS $$ \vert\Psi_{\mathrm{BCS}}(\phi)\rangle=\prod_{\vec{k}}{(|u_{\vec{k}}|+|v_{\vec{k}}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}c_{\vec{k}\uparrow}^\dagger c_{-\vec{k}\downarrow}^\dagger)\vert 0\rangle}.\tag{3} $$ Tanto en el cálculo variacional original de BCS como en el enfoque de la transformación de Bogoliubov, esta fase relativa $\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$ siempre está directamente relacionado con la brecha $\Delta$ por $\Delta_\vec{k}^*v_\vec{k}/u_\vec{k}\in \mathbb{R}$ . En esta etapa, podemos decir de nuevo que la función de onda se vuelve sólida y no se produce ninguna deformación, por lo tanto $\vec{j}_p$ no emerge.

Answer 2

En todas las teorías (London, Ginzburg-Landau, Bardeen-Cooper-Schrieffer, Bogoliubov-Gennes) el efecto Meissner se contabiliza como la relación constitutiva $j\propto A$ la corriente es proporcional al vector-potencial. (El factor de proporcionalidad depende del sistema de unidades, así que olvidémonos de eso aquí).

Para la teoría fenomenológica de London, esta relación es elegido para verificar la relación de Meissner, y se llama relación (constitutiva) de London en su honor. En la teoría semifenomenológica à la Ginzburg-Landau, es la estructura gauge además de la transición de fase que obliga a la proporcionalidad entre $j$ y $A$ .

En la teoría microscópica, esta relación es un poco falsa, ya que la ecuación de Schrödinger ya tiene esta estructura. Recordemos que la corriente es $j\propto \Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)+A\left|\Psi\right|^{2}$ en la (primera cuantificación) mecánica cuántica. Así que lo que hay que demostrar es que la contribución paramagnética ( $j_{P}\propto\Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)$ ) desaparece en un superconductor, y sólo la contribución diamagnética $j_{D}\propto A\left|\Psi\right|^{2}$ sobrevive. Nótese que en la teoría de Ginzburg-Landau el término paramagnético desaparece por una "elección gauge". En la terminología moderna este "gauge-choice" se llama mecanismo de Anderson-Higgs. Desde la teoría microscópica se puede demostrar que la contribución paramagnética desaparece.

Todos los cálculos están muy claros en el documento original

J. Bardeen, L. N. Cooper y J. R. Schrieffer, Teoría de la superconductividad Phys. Rev. 108, 1175 (1957) .

al que se puede acceder gratuitamente desde el sitio web del editor. Véase especialmente la sección V. Propiedades electrodinámicas .

El factor de proporcionalidad entre $j$ y $A$ tiene algo que ver con la longitud de penetración de Londres $\Lambda$ : $j\propto A/\Lambda$ (válido sólo para algunos superconductores, por favor, encuentre los detalles pertinentes en el documento de BCS). Esta longitud de penetración puede medirse directamente, y es proporcional a la amplitud de la brecha, el parámetro de orden superconductor. Esa es la predicción correcta de las tendencias genéricas de la longitud de penetración que sirvió como (una de) las bases para la verificación de la teoría BCS.

En realidad, lo que demostró la BCS es que $\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$ ya que consideraron el sector de baja energía. A partir de la expresión de la corriente de primera cuantificación, una transformación de Fourier muestra que $\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$ en general, por lo que parece que el efecto Meissner es una propiedad genérica de los sistemas cuánticos. Así que la pregunta: ¿necesitamos realmente BCS para entender la superconductividad? La respuesta es claramente sí y el motivo es el siguiente. En la teoría cuántica de campos, sólo los bosones tienen una expresión similar a la de Schrödinger para la corriente. Así que, en resumen, el efecto Meissner es un efecto natural para los bosones. Conclusión: lo realmente fundamental para la superconductividad no es el $j\propto A$ (ya que ésta es siempre válida para cualquier sistema de bosones en el límite $q\rightarrow 0$ ), sino para entender cómo un líquido fermiónico se comporta como uno bosónico. Así que, en resumen, el efecto Meissner no es más que una consecuencia natural de la condensación de los pares Cooper, que son (más o menos) bosones. Lo importante para la teoría BCS es el tratamiento de campo medio del efecto Cooper, que transmuta los fermiones en bosones.

Por favor, dígame si necesita más detalles. Creo que el documento de BCS es realmente pedagógico, pero no dude en pedir más detalles.

Answer 3

Dudo de cualquier explicación del efecto Meissner dentro de la formulación actual de la teoría del s.c. BCS.

1. El viejo proof'' just shows in bulk, that if there is an atractivo'' potencial que correlaciona electrones de espín y momento opuestos, entonces en una fase de equilibrio estable que rompe la simetría, con medias anómalas $<a_{k,,+1/2}a_{k,-1/2}>\neq0$ el coeficiente $\kappa(k)$ en la relación lineal entre las transformadas de Fourier de la densidad de corriente densidad de corriente transversal y el potencial vectorial transversal $\tilde{\vec{j}}(k)_{\perp}=\kappa(k)\tilde{\vec{A}(k)}_{\wr\perp}$ el coeficiente $\kappa(k)$ es positivo en $k=0$ . El potencial vectorial considerado aquí (en una teoría basada sólo en partículas cargadas con interacción de Coulomb) debe interpretarse como un campo s.c. partículas cargadas) tiene que ser interpretado como el campo s.c. Sin embargo, si el efecto Meissner entonces ambos lados son idénticos a cero y esta relación no demuestra nada. relación no demuestra nada.

2 . Se suele comparar la segunda ecuación de London en equilibrio: $\nabla^{2}\vec{B}-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{B}=0$ con la ecuación de Debye en equilibrio para el potencial eléctrico s.c. en un semiconductor $ \nabla^{2}V-\frac{1}{\lambda^{2}}V=0\quad$ .

Para obtener esta ecuación en un semiconductor, se parte de la ecuación de Poisson de Poisson: $\nabla^{2}V=-4\pi\rho$ y deriva una relación local $\rho(x)=-\frac{1}{4\pi\lambda^{2}}V(x)\quad.$

Dicha relación puede obtenerse bien asumiendo una distribución clásica de Maxwell para $V/k_{B}T<<$ o por un argumento mecánico cuántico argumento de respuesta lineal sobre correlaciones de corto alcance incluso en un vecindad más pequeña que $\lambda$ a la superficie. A continuación, se define el campo externo fuera del semiconductor por $V_{ext}(x)=-xE$ e impone la ecuación de continuidad para la derivada del potencial perpendicular a la superficie, lo que conduce a la proyección de Debye.

Ahora bien, aunque la ecuación de Bogolyubov-de Gennes (¡con un potencial de contacto! ) ofrece una descripción en la superficie, ningún argumento puede justificar una relación local $\vec{j}_{\perp}(x)=-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{A}(x)$ para distancias inferiores a $\Lambda$ de la superficie. De hecho, más allá de los esfuerzos formidables para calcular la corriente media s.c. relacionada con el potencial vectorial s.c. en la vecindad de la superficie (nunca vi en la literatura), difícilmente será de corto alcance, ya que las transiciones de fase transiciones de fase suelen ir acompañadas de correlaciones de largo alcance.

Si alguien conoce una respuesta a estos problemas, estaría encantado de aprender sobre.

Nota añadida:

*Una formulación clara de la razón del fracaso de las teorías actuales de la superconductividad para explicar el efecto Meissner puede encontrarse en un libro reciente [1]. Mientras que todo el mundo está de acuerdo en que el campo magnético producido por los electrones es esencial (completamente opuesto al campo aplicado), el campo magnético en estas teorías no es una variable dinámica, por lo que no puede ser modificado por la presencia de la materia. La salida de este callejón sin salida sólo puede realizarse teniendo en cuenta la interacción entre las corrientes (¡Biot-Savart!), que se desprende de una aproximación 1/c^2 consecuente de la QED no relativista sobre estados sin fotones. Por cierto, contrariamente a lo que se afirma con frecuencia, un hamiltoniano no puede ser invariante frente a las transformaciones gauge, ¡excepto la de los campos externos!

1] Ladislaus Alexander Bányai, A Compendium of Solid State Theory, Second Edition, Springer Nature (2020)*.

Answer 4

@FraSchelle Creo que entiendo (un poco) los fundamentos de la creación de fotones masivos en SC (a través de Higgs mech. ) como usted presentó ... Sin embargo, me gustaría preguntar ... ¿hay una posibilidad de que, dado que un rayo láser es un condensado bosónico, se rompe la simetría (de manera similar) y, más importante, hay alguna posibilidad de fotones masivos debido a la Higgs mech. ? Si no es así, ¿por qué no? Gracias; Gary