¿Qué ejemplos ilustran la utilidad de las valoraciones de Krull (es decir, rango > 1)?

Question

En la teoría moderna de la valoración, se estudian no sólo los valores absolutos en un campo, sino también Valoraciones de Krull . La motivación es bastante fácil:

Si $k$ es un campo, un anillo de valoración de $k$ es un subring $R$ tal que para cada $x \in k^{\times}$ al menos uno de $x, x^{-1}$ es un elemento de $R$ . (Por supuesto, se deduce que $k$ es el campo de la fracción de $R$ .) Si $| \ |$ es una norma no arquimédica sobre un campo, entonces el conjunto $\{x \in k \ | \ |x| \leq 1 \}$ es un anillo de valoración. Sin embargo, lo contrario no se cumple, ya que si $R$ es un anillo de valoración, entonces $k^{\times}/R^{\times}$ no necesita inyectarse en $\mathbb{R}$ sino que es (bajo una extensión directa de la relación de divisibilidad en $R$ ) un grupo abeliano totalmente ordenado. Además, una cierta construcción formal de series de potencias muestra que para cualquier grupo abeliano totalmente ordenado $\Gamma$ existe $k$ y $R$ con $k^{\times}/R^{\times} \cong \Gamma$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿cuáles son algunos casos en los que tener la generalidad de las valoraciones de Krull es útil para resolver algún problema (que no es a priori de la teoría de la valoración)? ¿Cómo surgen las valoraciones de Krull en la geometría algebraica?

Casi puedo recordar un ejemplo de esto. Creo que es posible dar una prueba rápida del Teorema de Lang-Nishimura -- que teniendo una $k$ -punto racional es un invariante biracional entre completos [hmm, ¡criterio valorativo!] $k$ -variedades. Creo que he visto esto en algunos apuntes de las conferencias de Bjorn Poonen, pero he olvidado dónde. [El año pasado, por estas fechas, habría enviado un correo electrónico a Bjorn. Estoy probando este nuevo enfoque en la teoría de que Bjorn puede responder si lo desea, y si no alguien más seguramente estará ansioso por decirme la respuesta].

¿Hay otros buenos ejemplos? ¿Tal vez algo relacionado con la resolución de singularidades?

Answer 1

Ya que lo has pedido, aquí tienes un poco sobre el papel de las valoraciones en el teorema de Lang-Nishimura, una de cuyas versiones es la siguiente (mi versión implica la tuya):

Teorema (Lang-Nishimura): Dejemos que $X \to \to Y$ sea un mapa racional entre $k$ -variedades, donde $X$ es integral y $Y$ es apropiado. Si $X$ tiene un suave $k$ -punto $x$ entonces $Y$ tiene un $k$ -punto.

Esbozo de prueba: Dejemos que $K$ sea el campo de funciones de $X$ . El mapa racional da una $K$ -punto final $Y$ . Si $\dim X=1$ entonces $\mathcal{O}_{X,x}$ es un anillo de valoración, por lo que el criterio valorativo de la propiedad da un $\mathcal{O}_{X,x}$ -punto de $Y$ que se reduce a un $k$ -punto de $Y$ . Para $\dim X=n>1$ , modifique el argumento por incrustación $K$ en un campo valorado con grupo de valores $\mathbb{Z}^n$ y campo de residuos $k$ , es decir, el campo de la serie iterada de Laurent $F:=k((t_1))((t_2))\cdots((t_n))$ donde el $t_i$ son parámetros locales en $x$ . $\square$

1) Si se prefiere, se puede sustituir este uso del criterio valorativo por un rango $n$ valoración discreta con $n$ usos del criterio valorativo del rango $1$ valoraciones discretas: demostrar el lema de que si una variedad propia tiene un $L((t))$ -punto, entonces tiene un $L$ -y aplicar el lema $n$ veces. Así que para esta aplicación en particular, realmente no necesitas las valoraciones de lujo.

2) Geométricamente, el teorema de Lang-Nishimura puede entenderse como sigue: Encontrar una curva suave irreducible $C$ en $X$ a través de $x$ tal que $C$ no está totalmente contenida en el lugar de indeterminación de $\phi \colon X \to\to Y$ . Entonces $\phi|_C$ se extiende a un morfismo, y la imagen de $x$ es un $k$ -punto de $Y$ . (La existencia de $C$ no es del todo evidente, por lo que la prueba teórica de valoración es más limpia).

Answer 2

Queridos Pete,

Esto es bastante un comentario general, en lugar de una respuesta precisa:

En General las valoraciones han sido estudiados profundamente por Zariski, que se utiliza como uno de los las piedras angulares de sus investigaciones de birational geoemtry (incluyendo varias formas de su Principal Teorema, la resolución de singularidades, y así sucesivamente). Su foto fue que valoración diferente de los anillos (que domina el local anillo de $\mathcal O_P$ a un punto de $P$ en una superficie de $X$, por ejemplo) corresponden a diferentes gérmenes de curvas que pasen por el punto de $P$. El rango de uno valoraciones son sólo los gérmenes de las curvas algebraicas que pasa a través de $P$, pero las otras valoraciones son como transcental curvas que aportan información adicional.

Creo que Krull mismo no ver que la mayor rango de valoraciones estaría relacionado con la geometría, sino que se trataba de Zariski (que estudió Krull muy cuidadosamente) que vio la aplicabilidad, y les presentó (y estrechamente relacionados con el concepto de la normalidad) en la geometría algebraica. (Creo que Zariski escribe acerca de este lugar, aunque no puedo recordar de donde.)

Este punto de vista, persistió en la geometría algebraica hasta el Grothendieck revolución. Tal vez uno de los últimos resultados demostraron el uso de este punto de vista fue el Nagata incrustación teorema.

Al parecer Grothendieck fue muy infeliz con la teoría de la valoración (y, de hecho, trató de mantenerlo fuera de Bourbaki los textos de álgebra conmutativa, sin éxito), y el único vestigio que sobrevivieron en su punto de vista era el valuative criterios para separatedness y propio.

Voy a cerrar con este jabón-cuadro de animar a la gente a leer Zariski los papeles. Son bastante maravilloso.

EDIT: acabo de recordar que Lang libro sobre geometría algebraica, que es una especie de una versión abreviada de Weil Fundaciones, utiliza la teoría de la valoración en varios puntos. (Recuerdo que es tratada en el principio del libro en la sección que trata con los conceptos fundamentales de álgebra, pero ahora no lo recuerdo exactamente lo que él demuestra con ella más adelante. Pero es un libro bastante corto, por lo que uno podría voltear a través de él y ver. Todo el libro no va todo lo que ahora, y por tanto, es posible que aparezca sólo porque era tan endémica para el álgebra conmutativa y geometría algebraica de ese período de tiempo, más que porque él no hace nada particularmente especial con ella.)

EDIT: Después de pensar acerca de esta cuestión, me di cuenta de que la afirmación anterior acerca de clasificar a una las valoraciones correspondientes a los gérmenes de las curvas algebraicas que pasa a través de un punto es engañosa. Ver mi respuesta aquí para un (esperemos) más correcto discusión de la geométrica intution detrás de diferentes valoraciones.

Answer 3

Una pregunta extraña y difícil es si existe un esquema sin ningún punto cerrado. Es muy tentador pensar que, puesto que un esquema afín sí tiene puntos cerrados (corresponden a ideales máximos de su anillo), se podría reducir al caso afín y demostrar que un esquema arbitrario tiene necesariamente un punto cerrado. Pero esto es falso: existen esquemas sin puntos cerrados. Y todas las construcciones que conozco, con una excepción, utilizan un anillo de valoración $V$ con un enorme grupo de valoración: exactamente lo que necesita. Toman el esquema afín $Spec(V)$ y el esquema requerido es $Spec(V)\setminus {M}$ , donde $M$ corresponde al ideal máximo de $V$ . El ejemplo más sencillo está en el libro de Qing Liu, ejercicios 3.26, 3.27 página 113,114 (atribuye esta construcción a Florian Pop).

La excepción que mencioné antes se basa en la caracterización de Hochster de los espacios topológicos que surgen como espectros de esquemas afines. Se toma un espacio de este tipo con un solo punto cerrado y (sí, lo has adivinado) se elimina. Los detalles están en la lista de publicaciones de Ravi Vakil, al final de la página, Miscelánea 3.

http://math.stanford.edu/~vakil/preprints.html

El inconveniente de este enfoque sin anillos de valoración es que hay que leer el artículo de Hochster, que (aunque bastante interesante) es muy técnico, como reconoce el propio Hochster.

Answer 4

Dejemos que $F/K$ sea un campo de funciones algebraicas. El conjunto $Z$ de todos los anillos de valoración de $F$ que contienen $K$ puede identificarse con el límite proyectivo de todos los (propios) proyectivos $K$ -variedades $X$ teniendo $F$ como su campo de función. En general $Z$ es un espacio anillado pero no un esquema. Por construcción está claro que $Z$ codifica la información geométrica.

Answer 5

Lo que sigue es una aplicación de las valoraciones de Krull en la teoría de los anillos no etéreos:

Un dominio normal noetheriano $R$ puede escribirse como una intersección de dominios de valoración discretos. Además, estos dominios de valoración son localizaciones de $R$ - en los primeros ideales de altura $1$ .

Por supuesto, todo dominio normal $R$ puede escribirse como una intersección de dominios de valoración de su campo de fracciones $K$ . Motivado por la situación en el caso noetheriano se puede, sin embargo, tratar de encontrar familias $F$ de los dominios de valoración de $K$ tal que $R$ es la intersección de los miembros de $F$ y $F$ tiene una o más de las siguientes propiedades:

1. Todos los miembros de $F$ son localizaciones de $R$ a ciertos primos (o más débil: para cada miembro de $F$ los valores de los elementos $r\in R$ son precisamente todos los valores no negativos del grupo de valores).
2. Todos los miembros de $F$ satisfacen ciertos requisitos relativos a los grupos de valores o a la dimensión de Krull.
3. Todo lo que no sea cero $r\in R$ se encuentra en el ideal máximo de a lo sumo un número finito de elementos de $F$ .

Estas propiedades pueden utilizarse para clasificar los dominios normales hasta cierto punto. En el período comprendido aproximadamente entre 1950 y 1970 se publicaron un montón de artículos que parecían seguir esta idea. Algunos nombres de autores: Paolo Ribenboim, Jim Brewer, Malcolm Griffin.