La pregunta se refiere a "laboratorio" de las mediciones, es decir, a los locales. Esta medida sólo puede ser sensible a la aceleración gravitatoria de una masa de ensayo relativo al laboratorio. Por ejemplo, si uno deja caer la masa en una columna de vacío y mide el tiempo que tarda en golpear el suelo, la aceleración que se infiere es la aceleración de la masa respecto al suelo. Lo mismo se aplica a cualquier otro local de la medición, por ejemplo, una medición utilizando un péndulo.
La pregunta se le pide al estudiante para calcular el "diurno" variación en $g$, y esta palabra significa una variación con un período de 24 horas. Como voy a mostrar a continuación, una espera de casi cero, la variación debida a la luna con un período de 24 horas, bajo los supuestos simplificadores del problema como se indica. El actual líder de la orden efecto, bajo estos supuestos, dispone de un plazo de 12 horas, y es de alrededor de dos órdenes de magnitud más pequeño que el que se reivindica en el libro.
Deje $M$ ser la masa de la tierra, $m$ de la masa de la luna, $R$ el centro-a-centro de la distancia entre la tierra y la luna, y $r$ el radio de la tierra. Deje que el subíndice N se refieren a la condición en la que la luna está en el nadir, y Z el uno en el que la luna está en el cenit. Vamos a la luna y la tierra en el $x$ eje, con la luna situados a la derecha de la tierra.
La aceleración de la tierra debido a la luna, la atracción gravitatoria es $a_E=Gm/R^2$. La aceleración de una masa de ensayo en el laboratorio en las dos condiciones es $a=\pm GM/r^2+ Gm/(R\pm r)^2$ donde $+$ N, $-$ de la a a la Z. la Resta da la aceleración de la masa de ensayo en relación a los de laboratorio,
$$ a_R=a-a_E=\frac{\pm GM}{r^2}+\frac{Gm}{(R\pm r)^2} - \frac{Gm}{R^2}$$
que se convierte, con la aproximación a $1/(1+\epsilon)^2-1\approx -2\epsilon$,
$$ a_R \approx \pm \left[g_0 -\frac{ 2Gmr}{R^3}\right] $$
En la condición N de que esta cantidad es positiva, mientras que en la condición Z es negativo. Desde el aparato gira 180 grados en 12 horas, debido a la rotación de la tierra, lo que realmente mide es $|a_R|$, que es el mismo en ambos casos. (Para ver cualquier variación a lo largo de 12 horas, tendríamos que ir a la siguiente orden.)
En los horarios de 6 horas antes y después de N y Z, cuando la luna está sobre el horizonte, la luna, la gravedad actúa en un ángulo de $\theta\approx r/R$ por debajo del horizonte, el aumento de la $y$ de la aceleración de la masa de ensayo por $(Gm/R^2)\sin\theta\approx Gmr/R^3$. El propio de la tierra la aceleración no tiene componente a lo largo de la $y$ eje, por lo que este aumento es también observado por mediciones de laboratorio.
En resumen, hay un doble-diurnos (no diurnos) variación con un pico a pico de amplitud, relativa a $g$, de
$$ \frac{3Gmr/R^2}{g} = 1.7\times 10^{-7}.$$
Esto parece estar de acuerdo con la cifra calculada en la parte inferior de esta respuesta por David Hammen. (David empieza con el cálculo de la energía solar efecto, que resulta ser mucho más pequeño, pero a continuación se da una figura al final de la combinación de lunares y solares efecto. Dividiendo su figura 9.8 m/s2, parece dar la misma cosa que tengo que hacer.)
La incorrecta respuesta dada por el libro parece haber sido obtenidos por ignorar el hecho de que la tierra se acelera en respuesta a la gravedad de la luna. Bajo esta suposición, se obtiene un pico a pico de la variación de la
$$ \frac{\Delta g}{g} = 2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2 = 7\times10^{-6} $$
con el período de 24 horas reclamado por el libro.
Después escribí los cálculos anteriores, Floris, señaló esta respuesta anterior, lo que da un gráfico que muestra los datos experimentales. Parece que existen dos componentes de Fourier de igual amplitud, uno con un período de 12 horas y con un período de 24 horas. La amplitud de las 12 horas de la componente aparece a la altura de mi predicción. Sin embargo, estoy teniendo problemas para entender las 24 horas del componente, que tiene un pico a pico de la amplitud de alrededor de $10^{-7}g$. Esto es dos órdenes de magnitud más pequeño que el libro es el resultado, pero aún más grande que me puede tener en cuenta. Si sigo la serie de Taylor que me trunca en mi respuesta original, llego $1/(1+\epsilon)^2-1\approx -2\epsilon+3\epsilon^2$. El plazo adicional ofrece 24 horas de oscilación con un pico a pico de la amplitud de $6Gmr^2/R^4$, lo que viene a ser alrededor de $6\times10^{-9}g$, de las cuales más de un orden de magnitud demasiado pequeño para explicar las observaciones. Me pregunto cuál es el origen de este efecto? Lamentablemente no tengo acceso a la Zumberge de papel (que es esto?). Le he pedido a una pregunta por separado acerca de este efecto.
