Series de Fourier generalizadas en$L^2$ que no convergen de manera puntual ae

Question

Para un espacio de Hilbert $L^2$ tenemos la noción de una base ortonormales $\{f_j\}$ ser una secuencia de ortonormales elementos de tal manera que cualquier elemento de a $f$ $L^2$ puede ser aproximada por las sumas parciales en términos de esta base $$f = \sum_{j=1}^\infty \langle f, f_j \rangle f_j$$ Aquí la suma converge respecto de la $L^2$ norma. Esto es a lo que me refiero generalizado de la serie de Fourier.

He estado leyendo acerca de Carleson del Teorema que dice específicamente para la serie de Fourier, la serie converge pointwise casi en todas partes al aproximar la función. También he leído que esto no es cierto para un general ortonormales. Estaba esperando que alguien sería capaz de darme un ejemplo que demuestra que la declaración de un número finito de medir el espacio, quizás $L^2([0,1])$: Una función cuyas sumas parciales en términos de la base no convergencia pointwise en casi todas partes.

Answer 1

Gracias por los comentarios. Yo era capaz de utilizar para proporcionar una respuesta a ¿Cuándo $\sum_{i=1}^{\infty} X_i$ existen para las secuencias aleatorias $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$?. Voy a repetir el resultado a partir de allí, ya que se proporciona un ejemplo:

Considerar la medida del espacio de $L^2([0,1])$ con uniforme de la medida de lebesgue. Definir las funciones (funciones de Haar) $f_{2^i + k}$ por $$f_{2^i + k} = 2^{i/2}\chi_{\left[\frac{k}{2^i}, \frac{k+1/2}{2^i}\right]} - 2^{i/2}\chi_{\left[\frac{k + 1/2}{2^i}, \frac{k+1}{2^i}\right]}$$ para $i \geq 1, 0 \leq k < 2^i$.

En la pg. 598 del documento mencionado en los comentarios: Temas en Ortogonal de Funciones - Precio afirma el autor, la Elección de las funciones definidas por encima de formar una completa base ortonormales. A continuación, pg. 603 del papel de los estados

Para cada ortonormales sistema de $\Phi$ hay un $L^2$ función de $g$ cuyas $\Phi$-series de Fourier puede ser reorganizado a divergir en casi todas partes.

Así podemos terminar de la siguiente manera. Tomar el Haar funciones como el anterior (un completo ortonormales) y la función de $g$ definido anteriormente. Escribimos esta función del $\Phi$-series de Fourier como $$\sum_{n=1}^\infty \langle g, f_n \rangle f_n$$ Ahora existe un reordenamiento $\sigma$ de los índices de la suma que se bifurca en casi todas partes. Ahora vamos a $g_n = \langle g, f_{\sigma(n)} \rangle f_{\sigma(n)}$ ser este reordenamiento de los términos. La suma de $\sum g_n$ diverge en casi todas partes.