Tori y métricas

Question

He estado leyendo un poco sobre Tori. Lo que puedo hacer es que un toro puede equiparse con diferentes métricas: localmente euclidianas o como una superficie incrustada. Sin embargo, se dice que el toro con la métrica local euclidiana no se puede realizar como una superficie incrustada. ¿Por qué es esto cierto y cómo es la métrica como una superficie incrustada? ¿Por qué querríamos la última métrica, ya que me parece que la primera es más natural?

Gracias.

Answer 1

Para la construcción de la isométricamente incrustado toro (por ejemplo, la superficie de un donut), primero considere el círculo de radio $r$ $yz$ plano, cuyo centro es la distancia a $c$ desde el origen a lo largo de la $y$ eje. En coordenadas polares, la ecuación paramétrica es $$v \mapsto (c + r\cos v, r\sin v)$$ We can obtain the torus by rotating this curve around the $z$ eje. No hay una manera estándar de hacer esto - a saber, las ecuaciones paramétricas son dadas por $$(u,v) \mapsto ((c+r\cos v)\cos u, (c+r\cos v)\sin(u), r\sin v )$$ Por lo tanto, es claro que hemos escrito las ecuaciones paramétricas de un toro en $\mathbb R^3$. Para encontrar la métrica que hace que el toro un isométrico de la incrustación, se puede calcular (si $s:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ es el mapa de arriba) $$ds\cdot ds = (c+r\cos v)^2du^2 + r^2dv^2$$ On the other hand, we could turn this construction around if we start abstractly with the set of points $M = S^1\times S^1$. Think of $M$ as a handful of clay waiting to be sculpted. Putting a metric on $M$ is a way of measuring lengths and angles, which is like taking the clay and sculpting it into a specific shape. The metric above makes $M$ look like a donut. But there are other metrics too, for instance we could consider $$du^2 + dv^2$$ i.e. we could put the euclidean metric on $M$. This make $M$ look like a flat piece of paper that has been rolled into a cylinder and then had the ends of the cylinder glued together. It is impossible to carry this out in $\mathbb R^3$ (e.g. there is no embedding $s:M \to \mathbb R^3$ so that $ds\cdot ds = du^2 + dv^2$). As mentioned in the comments, if it were possible to do this, then we could consider the smallest sphere in $\mathbb R^3$ that completely contains $M$. This sphere must touch $M$ at least once, and it is possible to show that any point at which this "minimal sphere" touches $M$ must be a point of positive curvature on $M$, but this is a contradiction since $M$ es plana y por lo tanto tiene curvatura cero (ver Ted Shifrin de la Geometría Diferencial libro, la Proposición 3.5).

Answer 2

Un $2$-toro es un espacio topológico $X$ que es homeomórficos (uno-uno continuamente equivalente) a la superficie de la $S$ de un donut en el espacio de tres. Para todos los efectos prácticos, podemos exigir que $X$ es diffeomorphic (uno-uno differentiably equivalente) a $S$.

Una métrica de Riemann en $X$ es una ley que permite medir la longitud de (continuamente diferenciable) de las curvas de $X$. Esta ley se expresa "en coordenadas locales" $(u_1,u_2)$ por medio de una expresión cuadrática $ds^2=\sum_{i,k} g_{ik} du_i du_k$. Para una curva $\gamma:\ t\mapsto u(t)$ $\ (a\leq t\leq b)$ su longitud es el dado por $L(\gamma)=\int_a^b\sqrt{\sum_{i,k} g_{ik} \dot u_i \dot u_k}\ dt$. Al $X=S$ con la métrica "hereda de" ${\mathbb R}^3$, entonces las fórmulas de agudos de la respuesta de aplicar.

Hay una muy profundo teorema acerca de Rienmannian $2$-tori en general. Dice lo siguiente: Si $X$ es una de Riemann $2$-toro, a continuación, hay un entramado $\Lambda$ ${\mathbb R}^2$ (con fundamentales paralelogramo $P$) y una función de $\rho:{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}_{>0}$, periódico con respecto a $\Lambda$, de tal manera que $X$ puede ser considerado como ${\mathbb R}^2/\Lambda$ ("$P$ con bordes paralelos identificado"), siempre con la métrica de Riemann $ds=\rho(z)|dz|$ donde$|dz|:=\sqrt{|dx^2+dy^2}$.

Si la función de $g$ es en realidad una constante, entonces decimos que la métrica de $X$ es "localmente euclídeo". Pero tenga en cuenta que el indicador global de la estructura de $X$ depende también de la forma de $\Lambda$, por lo que hay una infinidad de diferentes "localmente euclídeo" $2$-tori.

En el caso de un "real" de anillos incrustados en $3$-espacio de la correspondiente entramado $\Lambda$ es ortogonal, y la función de $g$ $\Lambda$- periódico, pero no constante.