Tensor de energía-momento en QFT vs GR

Question

¿Cuál es la correspondencia entre las conservadas canónica de energía-impulso del tensor, que es $$ T^{\mu\nu}_{can} := \sum_{i=1}^N\frac{\delta\mathcal{L}_{Matter}}{\delta(\partial_\mu f_i)}\partial^\nu f_i - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}$$ (los cuatro conservado Noether corrientes correspondientes a cuatro posibles espacio-tiempo traducciones)

donde $\{f_i\}_{i=1}^N$ $N$ materia campos de la teoría, y asumimos $f_i\mapsto\alpha^\nu\partial_\nu f_i$ de las traducciones,

y el estrés de la energía tensor de la acción de Einstein-Hilbert, que es: $$ T_{\mu\nu}\equiv-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\mathcal{L}_{Matter}}{\delta g^{\mu\nu}} $$

En particular, ¿cómo se puede conseguir que los dos son iguales (son?) por espacio de Minkowski, para el que no hay variación en la métrica?

Answer 1

Usted debe pensar en la forma en que el Noether actual se obtiene. Cuando una simetría infinitesimal de transformación se hace el espacio-tiempo dependiente, que es el de los parámetros de $\omega^a$ que el control de la simetría se toman como funciones del tiempo del punto de $\omega^a=\omega^a(x)$, la acción ya no está más a la izquierda invariante $$ \delta S=-\int d^D x\, J^{a\,\mu}(x)\partial_\mu \omega^a(x) $$ sino que proporciona la definición de la actual $J^{a\,\mu}$ que se conserva en la cáscara.

Ahora, veamos el caso del tensor de inercia de energía: en este caso, las traducciones $x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu$ son locales de $x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$, de modo que $$ \delta S=-\int d^D x\, T_\nu^\mu(x)\,\partial_\mu \omega^\nu(x)\,. $$ En realidad, uno busca un tensor simétrico $T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$, de modo que uno puede volver a escribir la expresión anterior de la siguiente forma $$ \delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, T^{\nu\mu}(x)\,(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,. $$ Ahora, aquí está la trampa: si vamos a transformar el espacio-tiempo métricas $g_{\mu\nu}$ (igual a $\eta_{\mu\nu}$ en el caso de la mano) como si $x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$ fue solo un cambio infinitesimal de coordenadas, que es $$g_{\mu\nu}\rightarrow g_{\mu\nu}-(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,,$$ a continuación, la acción (prestados coordenadas independientes por la inclusión de la métrica en la forma habitual como $d^D x\rightarrow d^D x \sqrt{|g|}\,,\ldots$) sería invariantes a la izquierda $$ \delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, (\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\a la izquierda. \left(\sqrt{|g|}\,T^{\mu\nu}(x)+2\frac{\delta S(x)}{\delta g_{\mu\nu}}\right)\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}=0\,. $$ A partir de esta ecuación se deduce que la corriente asociada con el espacio-tiempo traducciones puede ser escrito como $$ T^{\mu\nu}=\left. -\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}} \qquad \mbox{evaluados en el bkg }g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\,. $$ Debe ser evidente que esta definición le da un simétrica de energía-impulso del tensor que coincide con el que aparece el las ecuaciones de Einstein. A partir de la derivación anterior también debe quedar claro que las versiones alternativas de $T_{\mu\nu}$ surgir debido a que la definición de $T^{\mu\nu}$ a través de la variación de la acción cuando la traducción se hace el espacio-tiempo dependiente no de forma exclusiva solucionarlo. Por ejemplo, dado un válido $T_{\mu\nu}$, siempre se puede definir otra $T^{\mu\nu}\rightarrow T^{\mu\nu}_B=T^{\mu\nu}+\partial_\rho B^{\rho\mu\nu} $ con un arbitrario $B^{\rho\mu\nu}=-B^{\mu\rho\sigma}$, que también le da $$ \delta S=-\int d^D x\, T^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)=-\int d^D x\, T_B^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x) $$ hasta una integración por partes. Las ecuaciones de Einstein romper esta degeneración y muy bien identificar `la" energía-impulso del tensor.

Answer 2

Deje que se dé un general covariante materia de acción $$S~=~ \int \! d^4x~ {\cal L}, \qquad {\cal L}~=~e L, \qquad L~=~L(\Phi\nabla_a\Phi). \etiqueta{1}$$

La estrategia principal será la demanda de que el asunto de los campos de $\Phi^A$ llevar plana en lugar de curvas de índices de$^1$. Esto se logra con la ayuda de un vielbein $e^a{}_{\mu}$, donde

$$g_{\mu\nu}~=~e^{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \etiqueta{2}$$

$$ e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|}, \tag{3}$$

y una tirada de conexión de $\omega_{\mu}{}^a{}_b$ compatible con la de Levi-Civita de símbolos de Christoffel $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$,

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{4}$$

En otras palabras, el efecto de la conexión de $\omega_{\mu}{}^a{}_b$ está unívocamente determinado por

$$2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_ {\nu} +e_ {\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_ {\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{5}$$

$$2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cabina}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \etiqueta{6}$$

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{7}$$

La derivada covariante de la cuestión de los campos es de la forma

$$ (\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \omega_{\mu}{}^{a}{}_{b} ~(\Delta_a{}^b)^A{}_B~\Phi^B.\tag{8}$$

Debido a la antisymmetry de la vuelta de la conexión de $\omega_{c, ab}=-\omega_{c, ba}$, siempre es posible escribir la derivada covariante de la materia campos como $$ (\nabla_c-\partial_c)\Phi^Un ~:=~ E^{\mu}{}_c ~(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^Un ~=~ \frac{1}{2}\omega_{c,ab} ~(\Sigma^{ab}\Phi)^A,\etiqueta{9}$$ $$(\Sigma^{ab}\Phi)^A~:=~(\Sigma^{ab})^A{}_B~\Phi^B \tag{10} $$

donde $(\Sigma^{ab})^A{}_B$ es una representación de la $so(3,1)$ Lorentz Mentira álgebra

$$[\Sigma^{ab},\Sigma^{cd}] ~=~ \left(\eta^{bc} \Sigma^{ad} - (a \leftrightarrow b)\right) -(c\leftrightarrow d), \qquad \Sigma^{ab}~=~-\Sigma^{ba}.\la etiqueta{11}$$

II) La covariante de Euler-Lagrange las ecuaciones para el asunto de los campos de $\Phi^A$ leer

$$0~\stackrel{m}{\aprox}~\frac{\delta S}{\delta \Phi^A} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \Phi^A} -{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} , \qquad {\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} ~:=~{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}} -{\cal P}^{\mu}_B~\omega_{\mu,ab}~(\Sigma^{ab})^B{}_A,\qquad \etiqueta{12}$$

donde el Lagrangiano momenta son

$${\cal P}^{\mu}_A ~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\Phi)^A} ~=~E^{\mu}{}_a ~{\cal P}^a_A,\qquad {\cal P}^a_A~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\nabla_a\Phi)^A}. \etiqueta{13}$$

[Aquí el $\stackrel{m}{\approx}$ símbolo significa la igualdad modulo materia de misiones de observación electoral.]

III) La Belinfante mejora tensor de densidad se define como

$$ 2{\cal B}^{\lambda\mu\nu} ~:=~{\cal H}^{\lambda\mu\nu}-{\cal H}^{\mu\lambda\nu}-{\cal H}^{\nu,\lambda\mu}~=~-(\lambda \leftrightarrow \mu),\etiqueta{14} $$

o a la inversa

$$ {\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~=~{\cal B}^{\lambda\mu,\nu}-{\cal B}^{\lambda\nu,\mu}~=~-(\mu \leftrightarrow \nu),\tag{15}$$

donde

$${\cal H}^{\lambda\mu\nu}~:=~{\cal H}^{\lambda,ab}~E^{\mu}{}_a~E^{\nu}{}_b\qquad {\cal H}^{\lambda,ab}~:=~{\cal P}^{\lambda}_A~(\Sigma^{ab}\Phi)^A. \etiqueta{16} $$

IV) La variación de la materia de la acción $S$ wrt. a la vielbein rendimientos

$$\delta S ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +e\frac{\partial L}{\partial(\nabla_c\Phi)^A}~ \delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +{\cal P}^c_A~\delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ,\qquad \etiqueta{17} $$

o,

$$\delta S -\int \! d^4x\left[L~\delta e + {\cal P}^c_A~\delta E^{\mu}{}_c~ \partial_{\mu}\Phi^A\right] ~\stackrel{(17)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal P}^c_A~\delta \omega_{c,ab}~(\Sigma^{ab}\Phi)^$$ $$~\stackrel{(16)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal H}^{c,ab}~ \delta \omega_{c,ab} ~\stackrel{(6)+(14)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb,un}~ \delta f_{cabina} $$ $$~=~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb}{}_a~ \delta f_c {}^{} _b ~\stackrel{(7)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{\lambda b}{}_a\left[ \partial_{\lambda} e^{}_{\nu}~\delta E^{\nu}{}_b +\partial_{\lambda} \delta e^{}_{\nu}~ E^{\nu}{}_b \right].\la etiqueta{18}$$

V) El básico de Hilbert SEM-tensor de densidad de$^2$ se define como

$${\cal T}^{\mu\nu}~:=~-2\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad\qquad(\leftarrow\text{No se aplica!})\la etiqueta{19}$$

pero esta fórmula (19) no es aplicable, por ejemplo, fermionic la materia curva el espacio-tiempo. En lugar de la generalizada Hilbert SEM-tensor de densidad se define como

$${\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~:=~-\frac{\delta S}{\delta e^{}_{\mu}}e^{}_{\nu} ~=~E^{\mu}{}_a\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_a} ~\stackrel{(18)}{=}~\Theta^{\mu}{}_{\nu}+d_{\lambda}{\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu}, \etiqueta{20}$$

donde $\Theta^{\mu}{}_{\nu}$ es la canónica SEM-tensor de densidad

$$ \Theta^{\mu}{}_{\nu} ~:=~ {\cal P}^{\mu}_A~\partial_{\nu}\Phi^ - \delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}.\la etiqueta{21} $$

La última expresión en la ecuación. (20) es la respuesta a la OP de la pregunta acerca de la diferencia entre los Hilbert SEM-tensor de densidad (20) y la canónica SEM-tensor de densidad (21). Está dada por la Belinfante mejora tensor de densidad (14).

IV) La de Hilbert SEM-tensor de densidad (20) es simétrica en la cáscara

$$ {\cal T}^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~{\cal T}^{\nu\mu}, \tag{22} $$

cf. por ejemplo, mi Phys.SE contesta aquí, que también explica la conexión de Noether de teoremas.

Nca. (15), (20) y (22) implica que la parte antisimétrica de la canónica SEM-tensor de densidad de (21) es

$$ \Theta^{\mu\nu}-\Theta^{\nu\mu} ~\stackrel{m}{\aprox}~d_{\lambda}{\cal H}^{\lambda\nu\mu}.\la etiqueta{23} $$

Referencias:

1. M. J. Gotay & J. E. Marsden, el Estrés de Energía-Impulso Tensores y la Belinfante-Rosenfeld Fórmula, Contemp. De matemáticas. 132 (1992) 367.

2. M. Falsificador & H. Römer, las Corrientes y la Energía-Impulso del Tensor de la Clásica Teoría de Campo: Una nueva mirada a un Viejo Problema, Anales Phys. 309 (2004) 306, arXiv:hep-th/0307199.

3. L. B. Szabados, Cuasi-Local de Energía-Impulso y Momentum Angular en la Relatividad General, Liv. Apo. Rel. 12 (2009) 4; Sección 2.1.1 p. 11.

4. A. Bandyopadhyay, la Mejora de la Tensión Tensor de Energía utilizando el espacio-Tiempo simetrías, tesis doctoral (2001); en el Capítulo 2 y 3.

(Sombrero de punta para Refs. 1 & 2: David De La Barra De Moshe. Sombrero de punta para Refs. 3 Y 4: Konstantin Konstantinov.)

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$^1$ Convenios: En esta respuesta, utilizaremos $(+,-,-,-)$ Minkowski convención de signos. Griego índices de $\mu,\nu,\lambda, \ldots,$ son las llamadas curvas de índices, mientras que Romano índices de $a,b,c, \ldots,$ son llamados planos de los índices. Capital Romana índices de $A,B,C, \ldots,$ denotar varios planos o spinorial índices.

$^2$ Un tensor de densidad ${\cal T}^{\mu\nu}=e T^{\mu\nu}$ es en este contexto sólo un tensor $T^{\mu\nu}$ multiplicado por la densidad de $e$.