¿Cambia dy/dx en función de la configuración de la ecuación?

Question

Así que me di cuenta de que cuando encontré $dy/dx$ de $$x\sin(y)=1$$ Tengo $$dy/dx=-\tan(y)/x$$ mientras que cuando trato de encontrar $dy/dx$ de $$\sin(y)=1/x$$ Me sale $$dy/dx=-\frac1{x^2\cos(y)}$$ ¿No deberían estas dos ecuaciones dar el mismo resultado ya que son la misma ecuación pero manipulada algebraicamente antes de diferenciarla? Cuando he dibujado los campos de pendiente de las dos gráficas con el ordenador han dado dos gráficas diferentes. ¿Por qué ocurre esto?

Answer 1

$$ 0 = \frac{d}{dx} (x \sin(y)) = \sin(y) + x \cos(y) \, y' \Rightarrow\\ y' = -\tan(y) / x $$ y $$ \sin(y) = 1/x \Rightarrow \\ \cos(y) \, y' = - 1/x^2 \Rightarrow \\ y' = - 1/x^2 \cdot 1/\cos(y) $$ Usted escribió $y' = -1/x^2 \cdot \cos(y)$ en tu post original, antes de la edición de A.Γ.

Y en efecto $$ y' = -1/x^2 \cdot 1/\cos(y) = - \sin(y)/x \cdot 1/\cos(y) = - \tan(y)/x $$