Informática

Question

Estoy tratando de calcular una integral indefinida. ¡Gracias!

ps

Answer 1

Primero, pruebe la sustitución$u=x+2$, luego use una sustitución trigonométrica apropiada.

Answer 2

$$\begin{align}\int \dfrac{6x}{\sqrt{x^2 + 4x + 8}}\, dx\; & = \;\int \dfrac{6x+12 -12}{\sqrt{x^2 + 4x + 8}} \,dx \\ \\ \\ \\ & = \int \dfrac {6(x + 2) - 12}{\sqrt {\color{blue}{\bf (x^2+ 4x + 4) + 4}}}\,dx \end{align}$$

dividir la integral en la diferencia de las dos integrales:

$$ = \;\int \dfrac {6(x + 2)}{\sqrt {(x^2 + 4x + 8}}\,dx\;\; -\;\; 12\int \dfrac{1}{\sqrt{\color{blue}{\bf (x+2)^2 + 2^2}}}\, dx $$

Ahora, para la mano izquierda integral,

• deje $u = x^2 + 4x + 8 \implies du = 2x + 4 = 2(x + 2) \,dx,\implies\; 3du = 6(x+2)\,dx$. Sustituto: tendrás una integral de la forma $\;3\int u^{-1/2} \,du$

Para la mano derecha de la integral,

• deje $\;v = x+2\;\implies\;dv = dx.$

• Y como se ha sugerido, usted querrá utilizar un trigonométricas para la sustitución de la mano derecha de la integral: en particular, encontrar el prometedor hiperbólico trigonométricas sustitución.

Answer 3

Si usted tiene una expresión cuadrática en su integral, especialmente en el denominador o en virtud de una raíz cuadrada (o, en este caso, los dos!), usted debe hacer los siguientes pasos:

1: Completar el cuadrado. Recuerde que parezca $(x + a)^2 + b$ donde $a$ es igual a la mitad de la $x$ plazo, y $b$ es lo que usted necesita agregar para obtener el término constante a la altura. En su caso, el $x$ plazo es $4x$, lo $a$ debe $1/2 \cdot 4 = 2$. Así que usted consigue $(x + 2)^2 + b = x^2 + 4x + 8$, y así es fácil ver que $b$ debe $4$:

$$x^2 + 4x + 8 = (x + 2)^2 + 4$$

2: Hacer la sustitución $u = x + 2$, para limpiar el cuadrática expresión un poco. Esto no es necesario, pero me parece que se hace más agradable, y coinciden con otras situaciones más fácilmente. Su integral se convierte en:

$$\int \frac{6(u -2)}{\sqrt{u^2 + 4}}du$$

3: Ahora usted debe reconocer esto como un problema en el que debe utilizar una sustitución trigonométrica. La sustitución adecuada para hacer en este caso es:

$$u = 2\tan(\theta)$$

$$du = 2\sec^2(\theta)$$

La razón de esto es tan bueno es porque:

$$\sqrt{u^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2(\theta) + 4} = 2\sqrt{\tan^2(\theta) + 1} = 2\sqrt{\sec^2{\theta}} = \sec(\theta)$$

Y para que la integral se convierte en:

$$\int \frac{6(\tan(\theta) - 2)(2\sec^2(\theta))}{2\sec(\theta)}d\theta$$

$$= 6\int [\tan(\theta)\sec(\theta) - 2\sec(\theta)] d\theta$$

4: ahora debería ser capaz de calcular esta integral usando métodos estándar para la integración de funciones trigonométricas. Por ejemplo, la integral de $\tan(\theta)\sec(\theta)$ $\sec(\theta)$ - usted debe memorizar esta. La integral de $\sec(\theta)$ es algo más complicado, pero la fórmula es probablemente dada (otra cosa muy buena para memorizar).

5: Y así, usted tiene la fórmula:

$$6\sec(\theta) - 12\ln(|\sec(\theta) + \tan(\theta)|) + C$$

Ahora es necesario sustituir $\theta = \tan^{-1}(u/2)$. Quieres venir para arriba con una expresión simple para $\sec(\tan^{-1}(u/2)$, la mejor manera de hacerlo es dibujar un triángulo rectángulo con el ángulo de $\theta$ tener una tangente de $u/2$. De modo que la pierna opuesta tiene una longitud de $u$ y el adyacente de la pierna tiene una longitud de $2$. Ahora, usted puede ver que la secante de $\theta$$\sqrt{u^2 + 4}/2$. Y así:

$$3\sqrt{u^2 + 4} - 12\ln\left|\frac{\sqrt{u^2 + 4}}{2} + \frac{u}{2}\right| + C$$

Por último, conecte $u = x + 2$:

$$3\sqrt{(x + 2)^2 + 4} - 12\ln\left|\frac{\sqrt{(x + 2)^2 + 4}}{2} + \frac{x + 2}{2}\right| + C$$

Answer 4

$$\int \frac{6x}{\sqrt{x^2+4x+8}}dx=\int\frac{6(x+2)-12}{\sqrt{(x+2)^2+2}}dx$ $$$=6\int\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}dx-12\int\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}dx$ $$$=6\sqrt{x^2+2}-12\sinh^{-1}\left(\frac{x+2}{2}\right)+C.$ $

Answer 5

$$ \begin{align} \int \frac{6x +12 -12}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx &= \int \frac{6x +12}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx - \int \frac{12}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx \\ &= \int \frac{6(x+2)}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx - \int \frac{12}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx \\ &= \int \frac{3(2x+4)}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx - \int \frac{12}{\sqrt{x^2+4x+8}} dx. \end {align} $$

Luego, toma$x^2+4x+8 = t$ de sustitución en la primera integral y realiza un polinomio perfecto en la segunda integral, luego simplifica para obtener la respuesta.