Supongamos que uso la firma de métrica$(-+++)$. Entonces$\partial_a=(\partial_0,\partial_i)=(-\partial^0,\partial^i)$, pero$\partial^a=(\partial^0,\partial^i)=(-\partial_0,\partial_i)$.
Lo mismo aplica para$p^a$ y$p_a$, supongo. Sé que tenemos que contratar, digamos,$x^a$ con$p_a$ para dar$-x^0p_0+x^ip_i$. Entonces mi pregunta es: ¿esta convención de si se pone ``$-$ '' en cantidades con superíndices o subíndices se aplica a todas las cantidades? $x^a$ y$x_a$? $A^a$ y$A_a$?
En general, cuando se reemplaza un libre índice con uno en concreto, no hay signos de vez introducido: \begin{align} \partial_a & \to (\partial_0, \partial_i) \\ \partial^a & \to (\partial^0, \partial^i). \end{align} Esto es válido para todas las firmas. (En una nota de lado, estoy siendo pedante acerca de no usar "$=$" signos por una razón - un tensor no es igual a una sola, aunque no se especifica, componente de sí mismo.)
La pregunta, entonces, es la relación entre el$\partial_0$$\partial^0$, y entre el$\partial_i$$\partial^i$. En general, de nuevo, sin consideración a la firma, hemos \begin{align} \partial_a & = g_{ab} \partial^b \\ \partial^a & = g^{ab} \partial_b. \end{align} En la relatividad especial, $g_{ab} = \eta_{ab}$$g^{ab} = \eta^{ab}$, donde ahora debemos estar de acuerdo en una firma a la conclusión de \begin{align} \partial_0 & = -\partial^0 & \partial_i & = \partial^i \\ \partial^0 & = -\partial_0 & \partial^i & = \partial_i. \end{align}
En realidad, su preocupación acerca de dónde poner los signos significa que usted ha puesto un extra. De hecho, hemos $$ x^a p_a = x^0 p_0 + x^1 p_1 + x^2 p_2 + x^3 p_3. $$ Este es exactamente el mismo que $$ x_a p^a = x_0 p^0 + x_1 p^1 + x_2 p^2 + x_3 p^3. $$ El de arriba tiene en la GR en la firma. Si usted está en SR y tienen la $(-,+,+,+)$ firma, entonces usted puede escribir $$ x^a p_a = -x^0 p^0 + x^1 p^1 + x^2 p^2 + x^3 p^3 $$ o $$ x^a p_a = -x_0 p_0 + x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3. $$ Nota el término negativo sólo entra al insistir en el uso de los mismos índices (ya sea superior o inferior) para ambos $x$$p$. También tenga en cuenta que estas dos fórmulas sólo se mantiene en el SR, donde el intercambio de índices, en el peor, se introdujo un negativo. En general, $$ x^a p_a = g_{ab} x^a p^b, $$ que puede tener $16$ términos en la suma.
El uso de la métrica de la firma, la métrica es: $$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$
El genérico del vector de posición se define como (en coordenadas Cartesianas) $$x^{\mu}=\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}$$ Y la cantidad de $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$. Así que usted puede ver que $x_\mu$ se convierte en uno con un signo de menos en la $x_0$.
Entonces, la derivada se define como: $$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$ Así que usted puede ver que $\partial_0=\frac{\partial}{\partial t}$ es positivo. Al aplicar la métrica, $$\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\nu=\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}=\frac{\partial}{\partial x_\mu}$$ y por lo tanto $\partial^0$ se convierte en negativo.
Así que para responder a tu pregunta, sí, el convenio se aplica. El cambio de un superíndice subíndice se realiza a través de la aplicación de la métrica. $A_a=\eta_{ab}A^b$ $A^a=\eta^{ab}A_b$ $\eta^{ab}\eta_{ab}=4$.
Sí, de hecho lo hace.
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Has tomado una clase de matemáticas en la Métrica de los Espacios tal vez?
Un Espacio Métrico, aproximadamente, es algo donde tenemos una noción de cómo medir las cosas.
Así, por ejemplo, el Espacio Euclidiano es un muy fimiliar espacio, puede medir el cuadrado de la magnitud de un vector a ser
$$ \vec{x} \cdot \vec{x} = (x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 $$
Esto también puede ser escrito utilizando una métrica como
$$ \vec{x} \cdot \vec{x} = g_{ij} x^i x^j $$
donde$i = 1,2,3$$j = 1,2,3$. Aquí estoy usando el Convenio de Sumación de Einstein, que $g_{ij} x^i x^j$ $i$ $j$ repiten como que, una superior y una inferior, es la abreviatura de
$$ g_{ij} x^i x^j = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 g_{ij} x^i x^j$$
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Así que nuestra métrica, $g_{ij}$ es sólo
$$ g_{ij} = \mbox{diag}(+1,+1,+1) $$
es decir, cuando se $i=j$ obtenemos $g_{ii} = + 1$, mientras que si $i \neq j$ nos da cero, $g_{ij}\vert_{i\neq j} =0$.
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A continuación, podrás ver que al subir y bajar los índices de uso de la métrica como
$$ x^i = g^{ij} x_j \quad \mbox{ or } \quad x_i = g_{ij} x^j $$
Que el elevado $x^i$ y la baja en un $x_j$ son los mismos, ya que el $g_{ij}$ cada $+1$.
Así que fue agradable y fácil.
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Ahora, cuando nos movemos en el Espacio de Minkowski de la Relatividad Especial, se pone un poco más complicado. La métrica de los componentes (el equivalente de la $g_{ij}$) no están todos los $+1$. Normalmente utilizamos $\eta^{\mu \nu}$ para el Espacio de Minkowski métrica, donde
$$ \eta^{\mu \nu} = \mbox{diag}(-1,+1,+1,+1) $$
en su convención. (Cabe señalar que no todo el mundo utiliza el mismo conjunto de +1 y -1, de manera que usted siempre debe consultar esta y asegurarse. Puede ser muy fustrating cuando algo no funciona, porque el otro chico era el uso de un signo diferente!).
De todos modos, un vector, como $A^{\mu}$ como pedir, puede reducirse con el tensor métrico como
$$ A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} $$
Así pues, por definición,
$$ A_{\mu} = (A^0, A^i) $$
cuando bajamos el índice obtenemos
$$ A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = (g_{0 \nu} A^{\nu}, g_{i \nu} A^{\nu}) = \left( \sum_{\nu = 0}^3 g_{0 \nu} A^{\nu}, \sum_{\nu = 0}^3 g_{i \nu} A^{\nu} \right) $$
Pero, como todos los $g_{\mu \nu}$ son cero cuando se $\mu \neq \nu$, los únicos en la suma no cero son
$$ A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = (g_{0 0} A^{0}, g_{i i} A^{i}) $$
y sabemos que esto de la definición de nuestra métrica tensor anteriormente, es decir,
$$ A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = ((-1) A^{0}, (+1) A^{i}) = (-A^{0}, A^{i}) $$
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Usted puede utilizar el tensor métrico para subir y bajar cualquier índice, tales como, por ejemplo,
$$ T_{\mu \nu \rho}^{\; \; \; \; \sigma} = g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} g^{\sigma \gamma} T^{\alpha \beta}_{\; \; \; \rho \gamma} $$
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