Estoy leyendo una prueba de la Invariancia de Dominio; una prueba mencionó que $\mathbb{R}^n \subseteq \mathbb{S}^n$, mientras que la otra prueba dijo: "incluir a $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{S}^n$". Pero, ¿cómo es eso cierto? No $\mathbb{S}^n$ se define como (nada homeomórficos a) un conjunto de puntos en $\mathbb{R}^{n + 1}$ equidistante desde el origen? O me estoy perdiendo algo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Que es una forma de definirlo. Otra forma es definir $S^n$ como el punto de compactification de $R^n$.
La idea es esta: Un círculo ($S^1$) es como una línea de ($R^1$) con los extremos pegados juntos; o a la inversa, una línea es como un círculo con un punto eliminado. Hay un fácil homeomorphism: Considere el círculo con el centro en $(0, 1/2)$. Para cada punto de $P$ sobre el círculo, dibuja una línea a través de$P$$N = (0, 1)$.
Esta línea cruza la $x$-eje en un punto de $P'$, y este es un homeomorphism entre el $x$-eje y el círculo de menos el punto de $N$ sí.
Uno puede hacer una similar para la asignación de la esfera sobre un plano: para cada punto de $P$ sobre la esfera, dibujar una línea desde el polo norte $N$ de la esfera a través de $P$ a encuentra su intersección $P'$ en el avión. Este es un uno-a-uno la correspondencia entre los puntos del plano y los puntos de la esfera, excepto para el polo norte. La asignación se llama una proyección estereográfica.
De nuevo, la idea es que si usted toma una esfera y eliminar un punto, se puede estirar la parte alrededor de la eliminan el punto y llevarla a cabo hasta el infinito, se aplanan, y lo que se obtiene es el avión. O usted puede hacer lo mismo a la inversa, la adición de un "punto en el infinito" que trae todo el lejano partes del avión juntos; este "punto en el infinito" es el "punto" en el "punto de compactification" que he mencionado anteriormente.
La construcción de las dimensiones superiores es completamente análogo.
Tasha
Puntos
28
Existen múltiples definiciones de$\mathbb{S}^n$ (aunque los espacios topológicos que definen son todos homeomórficos). Parece que el que están usando es la compactación de un punto de$\mathbb{R}^n$, que como un conjunto es$\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$, y así literalmente contiene$\mathbb{R}^n$. Piense en pegar en un punto adicional en el infinito hasta$\mathbb{R}^n$, de modo que se enrolle en una bola; esto es más fácil de visualizar cuando$n$ es$1$ o$2$.
Neal
Puntos
16536
Estás en lo correcto. Sin embargo,$\mathbb{S}^n - \{\mbox{one point}\}$ se puede mapear en$\mathbb{R}^n$ a través de una proyección estereográfica . El mapa inverso$\mathbb{R}^n\hookrightarrow\mathbb{S}^n$ es una inclusión.
Otra forma de pensar acerca de la inclusión es ver$\mathbb{S}^n$ como la compactación de un punto de$\mathbb{R}^n$.
Dan Rust
Puntos
18227
$\mathbb{R}^n$ puede verse como homeomorfa a una $n$-esfera con un punto retirado a través de la proyección estereográfica. Cuando un autor dice 'incluyen $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{S}^n$' es lo que se refiere a un Homeomorfismo $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{S}^n\setminus {N}$ $N$ Dónde está el polo norte de la esfera.
