Demostrar que no es posible dividir un disco en $7$ partes de igual área por medio de tres líneas rectas.
Antecedentes: la vi a esta pregunta de una manera que parecía implicar la posibilidad de una solución simple. La sugerencia fue: ¿cuál es el área de cada lado de una línea? Bueno, obviamente, $\frac37$ $\frac47$ de toda la zona, pero no puedo ver a dónde me lleva. Me estoy perdiendo de algo muy simple?
He intentado hacer algunas trig pero es un dolor. Incluso "obvio" que las cosas parecen difíciles de probar rigurosamente, por ejemplo, que las líneas se intersecan en $60^\circ$ ángulos.
Tenga en cuenta que la división es posible si el disco es reemplazado por una forma diferente. Por lo tanto, debemos utilizar realmente el hecho de que la forma es un disco. (O tal vez el hecho de que es convexo?)
Alguna idea? Sin largas trigonométricas soluciones por favor, estoy seguro de que podría hacer que yo si podía ser molestado a pasar más tiempo en él.
Por favor, tenga en cuenta que no te estoy pidiendo una regla y el compás de la construcción, por lo que esta pregunta y la respuesta no es relevante.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matthew Scouten
Puntos
2518
Cada línea se divide en partes el disco de áreas $3/7 A$ $4/7 A$ donde $A$ es el área de la disco, y que determina la distancia $d$ desde el centro del disco a la línea. La disposición general tiene que ser algo como
donde la intersección de las dos líneas es en el $4/7 A$ región para la otra línea. En fin para los tres en forma de cuña regiones tengan las mismas áreas, los ángulos entre cada par de líneas tiene que ser el mismo (por lo $\pi/3$). Eso debería ser suficiente información para determinar el área del triángulo central, dicen. Si no $1/7 A$, ya está hecho.
