Función que es continua y su diferencial es continua

Question

Deje $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Mostrar que $f$ es continuamente diferenciable si y sólo si, para cada $x \in \mathbb{R}$ existe un $l \in \mathbb{R}$ con la propiedad de que para todos los $\epsilon >0$ existe un $\delta>0$, de tal manera que para todos los $h,t, \in B(0,\delta)$ el siguiente se tiene:

$$ |f(x+h) -f(x+t) - l(h-t)| \leq \epsilon |h-t| $$

He estado mirando este ejercicio por mucho tiempo y todavía no tienen ni idea acerca de cómo la prueba de esto. La declaración se parece mucho a la definición de la diferencial, pero no veo cómo obtener un $h$ $t$ en mi expresión.
Además no veo cómo el continuamente diferenciable debe ser utilizado para la prueba de esta propiedad. He intentado utilizar el valor medio teorema, pero esto hace que todo confuso para mí, como supongo que yo tendría el límite de la definición, pero luego no veo la manera de deshacerse de él.

Answer 1

Vamos a llamar a la condición (1) (así que tenemos que demostrar que (1) es equivalente a continua la diferenciabilidad). Si $f$ es continuamente diferenciable, se $l=f'(x)$. Sice $f'$ es continua, entonces para $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f'(y)-l|<\epsilon$ todos los $y\in\mathbb{R}$$|y-x|<\delta$. Tome $h,t\in B(0,\delta)$. Si $h=t$, entonces estamos obviamente hecho, así que asumir que $h\neq t$. Por el valor medio teorema existe $c$ $t$ $h$ tal que $${f(x+h)-f(x+t)}=f'(x+c)(h-t).$$ Por lo tanto \begin{align*}|f(x+h)-f(x+t)-l(h-t)|&=|f'(x+c)(h-t)-l(h-t)|=|f'(x+c)-l||h-t|.\end{align*} Desde $|c|\leq\max\{|t|,|h|\}<\delta$,$|f'(x+c)-l|<\epsilon$, lo que demuestra una dirección.

Por el contrario, si (1) se mantiene, entonces si lo primero que arreglar $x\in\mathbb{R}$ y deje $l\in\mathbb{R}$ de manera tal que la propiedad en (1) se satisface, entonces vamos a $\epsilon>0$. Tome $\delta>0$ de manera tal que la desigualdad en (1) se cumple para todos los $h,t\in B(0,\delta)$. Dejando $t=0$ hemos $$|f(x+h)-f(x)-lh|\leq\epsilon|h|.$$ Dividiendo por $|h|$, podemos ver que $f$ es diferenciable en a$x$$f'(x)=l$. Ahora, a ver que $f'$ es continua en cualquier $x\in\mathbb{R}$, vamos a $\epsilon>0$ y tome $\delta>0$ de manera tal que la desigualdad en (1) se satisface de nuevo para todos los $h,t\in B(0,\delta)$. Fix $h\in B(0,\delta)$, y deje $\delta_1>0$ tal $$|f(x+h+v)-f(x+h)-f'(x+h)v|\leq\epsilon|v|$$ para $|v|\leq\delta_1$ (lo cual es posible por $f$ ser diferenciable en a $x+h$). No tome un cero $v\in B(0,\delta_1)$$h+v\in B(0,\delta)$. Entonces $$|f(x+h+v)-f(x+h)-f'(x)v|\leq\epsilon|v|$$ by applying the inequality in (1) to $x$. Thus $|f'(x)v-f'(x+h)v|\leq 2\epsilon|v|$ by the triangle inequality. Dividing by $|v|$, we have $|f'(x)-f'(x+h)|\leq 2\epsilon$, so since this holds for any $h\in B(0,\delta)$, $f'$ is continuous at $x$.

Answer 2

tal vez esto es de ayuda:

Para los ' 0$, encontramos $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \to_{h \to 0} l$.

Esto debería dar una intuición para el '->'-dirección, $l$ debe ser el valor de la derivada en x.

Saludos.