es denso en $\mathbb{Q}^2$ $\mathbb{R}^2$

Question

Sé que $\mathbb{Q}$ es densa en $\mathbb{R}$. ¿Cuál es el siguiente paso para demostrar que $\mathbb{Q}^2$ también es denso en $\mathbb{R}^2$?
Cualquier sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Sugerencias: (Justo como comentarios de Brian)

Cada conjunto abierto no vacío en $\Bbb R^2$ contiene un conjunto abierto de la forma $(a,b)\times (c,d)$ y $(a,b)$ contiene un elemento de $\Bbb Q$ por lo menos, decir $x$; por la misma razón, $(c,d)$ contiene $y\in \Bbb Q$. Y por lo tanto, es fácil ver que $\Bbb Q^2$ es denso en $\Bbb R^2$.

Answer 2

Que $x \in \mathbb{R}^2$ y que $q_n, r_n \in \mathbb{Q}$ tal que $q_n \to x_1, r_n \to x_2$.

Entonces $|x-(q_n,r_n)| = \sqrt{(x_1-q_n)^2+(x_2-r_n)^2} \to 0$, por lo tanto el resultado deseado.