Propiedades de la matriz después de la multiplicación.

Question

¿Cómo podría abordar preguntas como las siguientes?

Si la primera y la tercera columna de la matriz B son el mismo, ¿será el caso de la matriz AB así ?

No estoy necesariamente en busca de una respuesta a esta pregunta. Solo quiero tener una idea de cómo debería abordar preguntas como esta. Tomando al azar dos matrices y la multiplicación de ellos no ayuda mucho, creo yo, porque no pueden probar nada. Yo sólo sería capaz de afirmar que para este caso sólo la respuesta a la pregunta es sí, pero estoy buscando una manera de obtener una determinada respuesta para todos los casos. Si voy a demostrar que están equivocados, un simple ejemplo de un caso, donde la respuesta es no, es suficiente. En ese caso existe cómo voy a encontrar pistas acerca de qué es exactamente este caso?

Gracias de antemano.

PS. Yo no soy un hablante nativo de inglés y todo lo que he hecho en álgebra lineal he hecho en mi propio idioma (griego), así que por favor perdóname si yo uso incorrecto de la terminología. Me acaba de informar de cualquier error que he hecho y voy a reparación de ellos a la vez. Si no he dado lo suficiente o lo suficientemente clara información, por favor no dude en pedir aclaraciones.

Answer 1

Sí. Será el mismo. Usted puede pensar que el producto $\mathbf{AB}$ $\mathbf{A}$ independiente que actúa sobre las columnas de a $\mathbf{B}$ y colocar cada producto en la correspondiente columna de $\mathbf{AB}$. Así que un cambio en una columna de $\mathbf{B}$ sólo afecta a la columna. Si nos podría indicar el $i$th y $j$th columnas de $\mathbf{B}$$\mathbf{b}_i$$\mathbf{b}_j$, en las columnas correspondientes del producto de igual manera se $\mathbf{Ab}_i$$\mathbf{Ab}_j$. Así que si $\mathbf{b}_i = \mathbf{b}_j$, que será el mismo en producto $\mathbf{AB}$. Trabajo a través de la definición de la multiplicación de la matriz y usted verá por qué este es el caso. Gráficamente se puede ver de la siguiente manera:

$$[\cdots\mathbf{Ab}_i \cdots \mathbf{Ab}_j \cdots] = \mathbf{A}[\cdots\mathbf{b}_i \cdots \mathbf{b}_j \cdots]$$

Por la forma en que el mismo podría decirse de las filas de $\mathbf{A}$ en el producto $\mathbf{AB}$. Puede usted ver por qué?