Un ascensor de isometría a universal que cubre

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto de Riemann colector, $\bar M \to M$ ser universal y cubierta de $\phi \in Isom(M)$ ser una isometría de $M$. Es cierto que, si $\phi$ es isotópico a la identidad mapa de $M$, de (alguna o algunas) de sus levante $\bar \phi \in Isom(\bar M)$ se ha acotado a distancia para el mapa de identidad de $\bar M$?

Una motivación es que la declaración de la dimensión 2 se menciona en Farb, Margalit, "Una introducción sobre la asignación de los grupos de la clase", la versión 5, página 215, y no puedo probarlo.

Answer 1

Sí.

Que $\Phi$ ser un isotopy. $\Phi:I\times M\to M$ Es suave, que $\Phi(0,p)=p$ y $\Phi(1,p)=\phi(p)$. Que $\overline{\Phi}:I\times \overline{M}\to\overline{M}$ denotan la elevación de $\Phi$ igual a la identidad en el tiempo $0$. Por compacidad, hay algunos $\lambda>0$ tal que para cada $(t,p)\in I\times M$ tenemos $$\left|\frac{\partial\Phi}{\partial t}(t,p)\right|