¿Son estos dos cotangente haces symplectomorphic?

Question

Deje $T^{*}X$ ser la cotangente del paquete de $X$ $\omega$ el tautológica $2$-forma. Si $\sigma$ es un cerrado $1$-forma definida en $X$, mediante la definición de $$\omega_{\sigma}=\omega+\pi^{*}\sigma,$$ I have proved that $(T^{*}X,\omega_{\sigma})$ is again a symplectic manifold. I want to know if $(T^{*}X,\omega)$ and $(T^{*}X,\omega_{\sigma})$ are symplectomorphic if $\sigma$ es exacta.

También he demostrado que si $\theta$ $1$- forma definida en $X$, $\theta(X)=\{(x,\theta_{x})\mid x\in X\}$ es una de Lagrange submanifold de $(T^{*}X,\omega_{\sigma})$ si y sólo si $\sigma=d\theta$.

Entonces, yo creo que el $(T^{*}X,\omega)$ $(T^{*}X,\omega_{\sigma})$ no symplectomorphic. Si $\sigma$ es exacta, $\sigma=d\theta$, $\theta(X)$ es una de Lagrange submanifold en $(T^{*}X,\omega_{\sigma})$. Entonces, si $\varphi$ fueron una symplectomorphism, $\varphi(\theta(X))=\{(\varphi(x),\varphi(\theta_{x}))\mid x\in X\}$ sería una de Lagrange submanifold de $(T^{*}X,\omega)$. Estoy tratando de demostrar que no es, de hecho, una de Lagrange submanifold, pero no sé cómo hacerlo.

Alguien me puede ayudar, por favor? Gracias de antemano.

$\mathbf{EDIT}$: Creo que por tomar $f\colon (T^{*}X,\omega_{\sigma})\longrightarrow (T^{*}X,\omega)$ $f((x,\xi))=(x,\xi+\theta_{x}))$, $f$ es un symplectomorphism. Que debo demostrar que $f^{*}\alpha=\alpha+\pi^{*}\theta$ y yo estaría hecho. Pero, ¿esto? Si puedo comprobar que en la base, teniendo en cuenta $\alpha=\sum_{i=1}^{n}\xi_{i} dx_{i}$, $$f^{*}\alpha\big(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\big)=\xi_{i},$$ but why is $$(\alpha+\pi^{*}\theta)\big( \frac{\partial}{\partial x_{i}}\big)=\xi_{i}?$$

Answer 1

Tienes razón: dado un suave $1$forma $\theta$$X$, el diffeomorphism $f : T^*X \to T^*X : (x, \xi) \mapsto (x, \xi + \theta(x))$ usted considera que satisface $f^{\ast}\alpha = \alpha + \pi^{*}\theta$ donde $\alpha := \sum_{k=1}^n \xi_k dx^k$ es el tautológica 1-forma en $T^{\ast}X$.

Esto se deduce del hecho de que para el mapa de $f$ encima tenemos a $f^*\alpha = \sum_{k=1}^n (\xi_k + \theta_k)dx^k$, que a su vez es claramente igual a $\alpha + \pi^*\theta$.

La expresión anterior significa que el 1 formulario a- $f^*\alpha$ a un punto de $(x, \xi) \in T^*X$$\sum_{k=1}^n (\xi_k + \theta_k(x))dx^k$. Para ver esto, fijar un punto de $(x, \xi) \in T^*X$ y un vector $v \in T_{(x, \xi)}T^*X$. A continuación, calculamos el

$$ \begin{align} \notag (f^*\alpha)_{(x, \xi)}(v) &= \alpha_{f(x, \xi)}(f_{*}v) = \alpha_{(x, \xi + \theta(x))}(f_{*}v) \\ \notag &= \sum_{k=1}^n (\xi_k + \theta(x)_k) [dx^k(f_*v)] = \sum_{k=1}^n (\xi_k + \theta(x)_k) [(d(f^*x^k))(v)] \\ \notag &= \sum_{k=1}^n (\xi_k + \theta(x)_k) [(dx^k)(v)] = \left\lbrack \sum_{k=1}^n (\xi_k + \theta(x)_k) dx^k\right\rbrack(v). \end{align}$$

La moraleja de este cálculo es una forma muy sencilla para calcular pullbacks de formas: para evaluar $f^*\alpha$ a un punto de $(x, \xi)$ conocer una expresión coordinada de $\alpha$, basta con sustituir cada ocurrencia de la $j$-ésima coordenada en $\alpha$ $j$- ésima coordenada del punto de $f(x,\xi)$.

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Aquí hay otro más invariante en el camino para obtener el resultado (a primera vista puede parecer un tanto formal, pero sigue siendo sugerente). Observe que cualquier $1$forma $\theta$ $X$ es una sección de $s_{\theta} : X \to T^*X$, es decir,$s_{\theta}(x) = \theta(x)$. El mapa de $f(x, \xi) = (x, \xi + \theta(x))$, lo que se expresa en coordenadas, podría ser escrito invariantly como $f(\Xi) = \Xi + (s_{\theta} \circ \pi)\Xi$ donde $\Xi \in T^*X$ es lo que suelen sugestivamente, pero algo abusely escribir $(x, \xi)$. El'$+$', que aparece aquí es la adición de las fibras, que es invariantly bien definida debido a $T^*X$ es un vector paquete. Así, es tentador simplemente escribir $f = Id + s_{\theta}\circ \pi$. Lo 'siguiente' (al menos formalmente, pero esto podría ser explicado con rigor) que $$f^*\alpha = (Id + s_{\theta}\pi)^*\alpha \; "=" \; Id^*\alpha + \pi^* s_{\theta}^* \alpha = \alpha + \pi^* s_{\theta}^* \alpha .$$

Ahora, el tautológica 1 formulario a- $\alpha$ es única y invariantly caracteriza por la propiedad de que la $s_{\theta}^* \alpha = \theta$ para cualquier 1 formulario a- $\theta$ $X$ (ambos lados se $1$formularios en $X$). En consecuencia, $f^*\alpha = \alpha + \pi^*\theta$ ($1$formularios en $T^*X$).