¿Por qué no es homomorphism$\phi:\prod_{i\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ puede enviar todo$e_i$ a 1? De hecho, vi una prueba en MO usando enteros 2-adic ... pero sé muy poco sobre esos temas. ¿Alguien podría probarlo por otros medios (posiblemente más elementales)? Creo que debo mostrar alguna contradicción sobre el valor de$\phi(1,1,..,1,..)$ pero no puedo formular un argumento.
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Fat Mind
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Esta es una receta para la creación de las contradicciones de la suposición de $\phi(e_i)=1$$i\ge1$.
Nos deja elegir cualquier secuencia de enteros $(a_i)_{i\ge1}$ con las siguientes propiedades:
- $a_1\mid a_2\mid a_3\mid\cdots$ (es decir, cada uno se divide de la siguiente)
- $0<a_1+a_2+\cdots+a_n<a_{n+1}$
- $a_1+a_2+\cdots+a_n\to\infty$
- $a_{n+1}-(a_1+a_2+\cdots+a_n)\to\infty$
A continuación, para cada $n\ge1$ hemos
$$\begin{array}{l} m:=\phi(a_1,a_2,a_3,\cdots) & =a_1\phi(e_1)+a_2\phi(e_2)+\cdots+a_n\phi(e_n)+a_{n+1}\phi({\rm etc}) \\ & \equiv a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \mod{a_{n+1}} \end{array} \tag{$\circ$}$$
Hemos descompuesto $m$ con aditividad finita de $\phi$ y el hecho de $(1)$. Por $(\circ)$$(2)$, sabemos $m\ne0$ por lo que el lado derecho de la congruencia debe ser la menos positiva de residuos (LPR), que representa a $m$ mod $a_{n+1}$. Sabemos que este módulo $a_{n+1}$ es mayor que $a_1+\cdots+a_n$ que diverge a $\infty$, lo $a_{n+1}\to\infty$, y por lo tanto, si el entero $m$ fueron positivos a su LPR mod $a_{n+1}$ podría, eventualmente, ser constante, pero su LPR $\to\infty$, y por lo tanto debemos concluir $m$ es negativo. Pero si $m$ es negativo, su LPR mod $a_{n+1}$ debe $a_{n+1}$ menos constante, al menos eventualmente, y, sin embargo, por $(4)$ sabemos $a_{n+1}$ menos el LPR diverge a $\infty$, otra contradicción.
Mi respuesta original era con $a_k:=k!$. Para comprobar que satisface $(2),(3),(4)$ aviso
$$1!+2!+3!+\cdots+n!\le n!+n!+\cdots+n!=n\cdot n!=(n+1)!-n!.$$
