Quiero calcular la distribución de probabilidad para el total de una combinación de dados.
Recuerdo que la probabilidad de es el número de combinaciones que suman ese número por el número total de combinaciones (suponiendo que los dados tienen una distribución uniforme).
Cuáles son las fórmulas para
Soluciones exactas
El número de combinaciones en $n$ lanza es de curso $6^n$.
Estos cálculos son más fácilmente hacer uso de la probabilidad de generación de función para un dado,
$$p(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 = x \frac{1-x^6}{1-x}.$$
(Actually this is $6$ times the pgf--I'll take care of the factor of $6$ at the end.)
The pgf for $n$ rolls is $p(x)^n$. We can calculate this fairly directly--it's not a closed form but it's a useful one--using the Binomial Theorem:
$$p(x)^n = x^n (1 - x^6)^n (1 - x)^{-n}$$
$$= x^n (\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k x^{6k} )( \sum_{j=0}^{\infty} {-n \choose j} (-1)^j x^j).$$
The number of ways to obtain a sum equal to $m$ on the dice is the coefficient of $x^m$ in this product, which we can isolate as
$$\sum_{6k + j = m - n} {n \choose k}{-n \choose j}(-1)^{k+j}.$$
The sum is over all nonnegative $k$ and $j$ for which $6k + j = m - n$; it therefore is finite and has only about $(m-n)/6$ terms. For example, the number of ways to total $m = 14$ in $n = 3$ throws is a sum of just two terms, because $11 = 14-3$ can be written only as $6 \cdot 0 + 11$ and $6 \cdot 1 + 5$:
$$-{3 \choose 0} {-3 \choose 11} + {3 \choose 1}{-3 \choose 5}$$
$$= 1 \frac{(-3)(-4)\cdots(-13)}{11!} + 3 \frac{(-3)(-4)\cdots(-7)}{5!}$$
$$= \frac{1}{2} 12 \cdot 13 - \frac{3}{2} 6 \cdot 7 = 15.$$
(You can also be clever and note that the answer will be the same for $m = 7$ by the symmetry 1 <--> 6, 2 <--> 5, and 3 <--> 4 and there's only one way to expand $7 - 3$ as $6 k + j$; namely, with $k = 0$ and $j = 4$, giving
$$ {3 \choose 0}{-3 \choose 4} = 15 \text{.)}$$
The probability therefore equals $15/6^3$ = $5/36$, about 14%.
By the time this gets painful, the Central Limit Theorem provides good approximations (at least to the central terms where $m$ is between $\frac{7 n}{2} - 3 \sqrt{n}$ and $\frac{7 n}{2} + 3 \sqrt{n}$: on a relative basis, the approximations it affords for the tail values get worse and worse as $n$ grows large).
I see that this formula is given in the Wikipedia article Srikant references but no justification is supplied nor are examples given. If perchance this approach looks too abstract, fire up your favorite computer algebra system and ask it to expand the $n^{\text{th}}$ power of $x + x^2 + \cdots + x^6$: se puede leer el conjunto de valores de la derecha. E. g., un Mathematica one-liner es
With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]
$\newcommand{red}{\color{red}}$ $\newcommand{blue}{\color{blue}}$
Deje que la primera morir ser de color rojo y la segunda es de color negro. Luego hay 36 posibles resultados:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &1&2&3&4&5&6\\\hline \red{1}&\red{1},1&\red{1},2&\red{1},3&\red{1},4&\red{1},5&\red{1},6\\ &\blue{^2}&\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}\\\hline \red{2}&\red{2},1&\red{2},2&\red{2},3&\red{2},4&\red{2},5&\red{2},6\\ &\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}\\\hline \red{3}&\red{3},1&\red{3},2&\red{3},3&\red{3},4&\red{3},5&\red{3},6\\ &\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}\\\hline \red{4}&\red{4},1&\red{4},2&\red{4},3&\red{4},4&\red{4},5&\red{4},6\\ &\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}\\\hline \red{5}&\red{5},1&\red{5},2&\red{5},3&\red{5},4&\red{5},5&\red{5},6\\ &\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}\\\hline \red{6}&\red{6},1&\red{6},2&\red{6},3&\red{6},4&\red{6},5&\red{6},6\\ &\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}&\blue{^{12}}\\\hline \end{array}
Cada uno de estos 36 ($\red{\text{red}},\text{black}$) los resultados son igualmente probables.
Cuando usted suma los números en las caras (total $\blue{\text{blue}}$), varios (rojo,negro) de los resultados de acabar con el total del mismo, se puede ver esto con la tabla en su pregunta.
Así, por ejemplo, hay un solo camino para llegar a un total de $2$ (es decir, sólo en el caso de ($\red{1},1$)), pero hay dos maneras de obtener $3$ (es decir, los sucesos elementales ($\red{2},1$) y ($\red{1},2$)). Así, un total de $3$ es dos veces más probable que venga como $2$. Del mismo modo hay tres maneras de conseguir $4$, cuatro formas de obtener las $5$ y así sucesivamente.
Ahora ya tiene 36 posibles (rojo,negro) de los resultados, el número total de maneras de conseguir que todos los diferentes totales también es de 36, por lo que deberá dividir por 36 al final. Su total probabilidad será 1, como debe ser.
Hay una muy buena manera de computar las combinaciones o probabilidades en una hoja de cálculo (como excel) que calcula las circunvoluciones directamente.
Voy a hacerlo en términos de probabilidades y la ilustre por seis caras de los dados, pero usted puede hacerlo para dados con cualquier número de lados (incluyendo la adición de diferentes).
(por cierto que también es fácil en algo como R o matlab que se va a hacer circunvoluciones)
Comenzar con una hoja limpia, en un par de columnas, y bajar un montón de filas de la parte superior (más de 6).
poner el valor 1 en una celda. Que las probabilidades asociadas con 0 dados. coloque un 0 a la izquierda; ese es el valor de la columna continuar desde allí, con 1,2,3 hacia abajo tan lejos como usted necesita.
mover una columna a la derecha y hacia abajo una fila de la '1'. escribe la fórmula "=suma(" luego de flecha izquierda flecha arriba (para resaltar la celda con 1), golpe ":" (para iniciar la introducción de un rango) y, a continuación, la flecha arriba 5 veces, seguido por ")/6" y pulse Intro - de manera que usted termina con una fórmula parecida =sum(c4:c9)/6 (donde aquí C9 es la celda con el 1).
A continuación copiar la fórmula y la pegue a las 5 células por debajo de ella. Deben contener 0.16667 (ish).
No escriba nada en el vacío de las células de estas fórmulas se refieren a!
bajar 1 y a la derecha, 1 en la parte superior de la columna de valores y pegar ...
... un total de 11 valores. Estas serán las probabilidades de los dos dados.
No importa si usted pegar unos cuantos, muchos, usted acaba de ser ceros.
repita el paso 3 para la siguiente columna de tres dados, y de nuevo para cuatro, cinco, etc dados.
Aquí vemos que la probabilidad de rodadura $12$ en 4d6 es 0.096451 (si se multiplica por $4^6$ usted será capaz de escribir como una fracción exacta).
Si eres experto en Excel - cosas como copiar una fórmula de una celda y pegar en muchas células en una columna, puede generar todas las tablas hasta decir 10d6 en alrededor de un minuto o así (posiblemente más rápido si lo he hecho un par de veces).
Si desea la combinación de cuenta en lugar de probabilidades, no de dividir por 6.
Si desea dados con diferentes números de caras, se puede resumir $k$ (en lugar de 6) de las células y luego se divide por $k$. Usted puede mezclar los dados a través de las columnas (por ejemplo, una columna de d6 y uno para d8 para obtener la función de probabilidad para d6+d8):
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