Sobre la divergencia de los campos vectoriales

Question

Me han explicado que un campo vectorial, visto como "flechas" en el plano, tiene divergencia 0 cuando su magnitud no cambia, es decir, cuando las "flechas" mantienen la misma longitud. Pero los siguientes ejemplos me desconciertan:

$F(x)=x/|x|$ tiene siempre norma 1 pero su divergencia no es 0

$F(x)=x/|x|^2$ no tiene norma constante pero su divergencia es 0

¿Hay alguna contradicción o tengo una imagen equivocada/incompleta?

Answer 1

La divergencia no tiene nada (¿poco?) que ver con las normas de los vectores.

Piensa en lugar de dibujar una región cerrada $\Omega$ en el plano, y las flechas como medida de la velocidad del material que fluye a través del plano.

La región que has dibujado encierra cierta cantidad de material. A medida que el material fluye, esa cantidad cambia: en particular, es de sentido común que la velocidad a la que cambia la cantidad de material encerrado es igual a la velocidad a la que el material cruza el límite de la región.

Se puede pensar que la divergencia en un punto mide la velocidad a la que la densidad del material disminuye en ese punto. La velocidad a la que la cantidad total de material en todos los $\Omega$ está cambiando es entonces

$$\int_\Omega \operatorname{div} v$$

y la velocidad a la que el material atraviesa el límite de $\Omega$ es $$\int_{\partial \Omega} v \cdot n$$ y el hecho de que estos dos deben ser iguales es exactamente el teorema de la divergencia.

Answer 2

He aquí una forma de visualizar la divergencia de los campos vectoriales, siguiendo la respuesta dada por el usuario7530.

1. Inicie el excelente applet VfaII por Matthias Kawski.

2. Seleccione la pestaña DEs/flujos

3. Introduzca su ecuación de campo: x/sqrt(x^2+y^2) y y/sqrt(x^2+y^2) para el primer campo; x/(x^2+y^2) y y/(x^2+y^2) para el segundo.

4. Arrastrando el ratón, dibuje un pequeño rectángulo en algún lugar de la parcela, preferiblemente cerca del origen.

5. Observa cómo fluye el rectángulo. La forma se distorsionará en ambos casos, pero lo que hay que observar es el área. Bajo el flujo del primer campo el área crece. Bajo el flujo del segundo campo se mantiene igual.

Interpretación: ambos campos estiran el rectángulo en las direcciones de la polar $\theta$ -coordenada. Pero el segundo campo compensa este estiramiento encogiendo el rectángulo en la dirección radial. El primero no lo hace.