Manera rápida inteligente escribir curva polar en cartesianas

Question

¿Hay una forma rápida de escribir la curva: $$r=\frac{a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\theta)}$de % $ % curva cartesiano $f(x,y)=0$?

Parece puedo tomar $$r(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\theta)) = a$ $ $$r-\frac{x}{\sqrt{2}}=a$ $ $$\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x}{\sqrt{2}}=a$ $ $$x^2+y^2=(a+\frac{x}{\sqrt{2}})^2$ $ y luego expandirse hacia fuera y completar el cuadrado. Pero me parece un error. ¿Quizás es una manera inteligente para hacer esto?

Answer 1

Sugerencia: conseguimos $$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}$ $ y conseguimos por cuadratura $$2(x^2+y^2)=2a^2+x^2+2\sqrt{2}ax$ $ y luego tenemos $$(x-\sqrt{2}a)^2+2y^2=2a^2$ $

Answer 2

\begin{align} (a + \frac{x}{\sqrt{2}})^2 = a^2 + ax\sqrt{2} + \frac{x^2}{2} \end{align}

Y entonces usted puede reescribir la ecuación

\begin{equation} \frac{x^2}{2} - ax\sqrt{2} + y^2 = a^2 \end{ecuación }

como

\begin{equation} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} - a \right)^2 + y^2 = \left( \frac{x - a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)^2 + y^2 = 2a^2 \end{ecuación }

Y entonces se puede dividir por $2a^2$ para obtener la ecuación de una elipse cambiada de puesto:

\begin{equation} \frac{(x-a\sqrt{2})^2}{4a^2} + \frac{y^2}{2a^2} = 1 \end{ecuación }

Lamentablemente lo puedo decir no es posible "inteligente" para hacerlo, sólo está haciendo números.

Answer 3

Uno podría recordar (a partir de la prueba de la primera ley de Kepler, por ejemplo) que $$ \rho(\theta) = \frac{\frac{b^2}{a}}{1+\frac{c}{a}\cos\theta} $$ es el polo de la ecuación de una elipse (con semi-eje $b<a$$c=\sqrt{a^2-b^2}$) con respecto a un foco. El asociado ecuación cartesiana es, claramente,$\frac{(x+c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. En una manera similar, la ecuación cartesiana asociados a $$ \rho(\theta) = \frac{\frac{b^2}{a}}{1-\frac{c}{a}\cos\theta} $$ claramente es $\frac{(x-c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$. Por lo tanto, si la ecuación polar es$\rho(\theta)=\frac{A}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta}$, $a^2=2b^2$ $\frac{b^2}{a}=A$ y el concepto cartesiano de la ecuación está dada por $$ \frac{\left(x-\sqrt{2}A\right)^2}{(2A)^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{2} A)^2}=1. $$