Calcular los grupos de homología con la secuencia de Mayer-Vietoris

Question

Necesito calcular la homología de grupos en el grupo de los enteros $ H_k(D; \mathbb Z) $, de la simplicial complejo de ser una triangulación de la siguiente figura:

He dividido en dos partes $D = L_1 \cup L_2$ como este:

A continuación, ambas partes $L_i$ son homeomórficos a la norma 2-dimensional simplicial complejo y por tanto sabemos de su homología de grupos.

$$ H_k(\Delta^2, \mathbb Z) = \begin{cases} \mathbb Z, & k = 0 \\ 0, & k > 0 \end{casos} $$

La intersección $L_1 \cap L_2 = I_1 \cup I_2 \cup I_3$ de las piezas, es la fusión de 3 distintos segmentos y, por tanto, sabemos que su homología de grupos.

$$ H_k(I_1 \copa I_2 \copa I_3, \mathbb Z) = \begin{cases} \mathbb Z \oplus \mathbb Z \oplus \mathbb Z, & k = 0 \\ 0, & k > 0 \end{casos} $$

Y podemos construir el de Mayer-Vietoris secuencia:

$$ 0 \to H_1(L_1 \cap L_2; \mathbb Z) \to H_1(L_1; \mathbb Z) \oplus H_1(L_2; \mathbb Z) \to H_1(L_1 \cup L_2; \mathbb Z) \to H_0(L_1 \cap L_2; \mathbb Z) \to H_0(L_1; \mathbb Z) \oplus H_0(L_2; \mathbb Z) \to H_0(L_1 \cup L_2; \mathbb Z) \to 0 $$

Y la sustitución de los grupos programados:

$$ 0 \to 0 \to 0 \to H_1(D; \mathbb Z) \to \mathbb Z \oplus \mathbb Z \oplus \mathbb Z \to \mathbb Z \oplus \mathbb Z \to H_0(D; \mathbb Z) \to 0 $$

¿Cómo puedo calcular a partir de este grupos de $ H_0(D, \mathbb Z) $$ H_1(D, \mathbb Z) $? Gracias por la ayuda!

Answer 1

A partir de esta información por sí sola, no puede calcular los grupos, ya que podrían ser $$ \mathbb Z \oplus \mathbb Z \oplus \mathbb Z $$ y $$ \mathbb Z \oplus \mathbb Z $$ con los dos obvio mapas isomorphisms, o la primera podría ser $\mathbb Z$ y el segundo ser $0$. Seguramente hay otras posibilidades.

A cabo el trabajo de los grupos, sería necesario conocer el estado actual de los mapas en los diversos grupos.

Es mucho más fácil dividir la forma con una línea NW-SE, en lugar de NE/SW. Luego de obtener dos círculos, cuya homología de grupos a los que saben, y la intersección es un segmento de línea, que es contráctiles. Y el mapa de $H_0$ de la intersección de a $H_0$ de cualquiera de las partes es un isomorfismo (generado por el mapa de tomar un 0-simplex a un punto en la intersección).