La función de Green

Question

¿Por qué la función del Verde$G(r,r_0)$ de la ecuación de Laplace$\nabla^2 u=0$, siendo el dominio el medio plano, es igual$0$ en el límite? ¿Cómo puedo interpretar la ecuación de Laplace físicamente? ¿Hay alguna forma de interpretar intuitivamente la función del Verde en general?

Basado en el comentario de @ Matt, supongo que no es verdad en general que la función del Verde sea 0 en el límite.

Answer 1

En cuanto a la interpretación física de los Verdes funciones, elíptica operadores que tiene sentido pensar de la ecuación de Poisson en la electrostática

$$\nabla^2\phi(\vec x)=\rho(\vec x),$$

donde $\phi(\vec x)$ es el potencial eléctrico. Aquí $\rho(\vec x)$ es la densidad de carga, que se puede considerar como que está compuesto de cargas puntuales localizadas en las posiciones $\vec y$ con densidades descrito por $\delta(\vec x-\vec y)$. Este pensamiento puede algo tautologically ser representado por

$$\rho(\vec x)=\int\rho(\vec y)\delta(\vec x-\vec y)d\vec y.$$

Ahora, por el principio de superposición, que vale para el Mawell ecuaciones (o matemáticamente por el hecho de que su operador diferencial es lineal), si se conoce el potencial de $G(\vec x)$ de un punto de partículas

$$\nabla^2G(\vec x)=\delta(\vec x),$$

usted ya sabe la solución para el problema completo. Con

$$\phi(\vec x)=\int G(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y,$$

que se asemeja a la síntesis de todo es el punto potenciales, usted encontrará que Poissons ecuaciones se resuelve:

$$\nabla^2\phi(\vec x)=\int \nabla^2G(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y =\int \delta(\vec x-\vec y)\rho(\vec y)d\vec y=\rho(\vec x).$$

Ahora, ¿cuál es el potencial del punto de partículas? Es útil pensar de $\nabla^2$ como la divergencia del gradiente de

$$\text{div}(\vec \nabla G(\vec x))=\delta(\vec x).$$

El gradiente de potencial es el campo eléctrico, que es proporcional a la fuerza impuesta sobre otras cargas. Ahora, ¿cuál es el punto de partículas campo de fuerza que tiene cero de la divergencia, pero es singular por $\vec x =0$? En tres dimensiones, el área de superficie de la $A$ de una esfera que va con $A\propto r^2$, por lo que si la divergencia debe ser igual a cero, la radial solución debe ir de la $\frac 1 {r^2}$, que sólo es Coulombs ley. Integrar el resto de gradiente, nos encontramos con $$G(\vec r-\vec r_0)=\frac{c}{|r-r_0|}.$$ Del mismo modo, si usted está en dos dimensiones, entonces la superficie se va con $r$, campo debe ir inversa a la integral, es decir, la de los Verdes, la función va como $log(r)$.

En la física, muy a menudo, usted piensa en el delta del pico como una fuente de un pertubation de algún campo. El operador diferencial proviene de algunos de Lagrange densidad que codifica la ley de la conservación y el asociado Verdes función describe cómo la información porpagates lejos de la fuente. El campo decae espacial y (en contraste con la ecuación de Poisson con un cambio densitiy $\rho(\vec x)$) el resto de la ecuación de Laplace $\nabla^2\phi(\vec x)=0$ describe libre de dispersión/la propagación de los potenciales de onda/.

Todo esto es un negocio de alcalde del tema en el Campo de las Teorías (o 'sus aplicaciones como el procesamiento de la señal), donde los Operadores se refieren a los tiempos de los derivados. En los puntos de origen, hay algún tipo de interacción y el campo se vuelve perturbado y, a continuación, la información viaja lejos de allí. En las Teorías Cuánticas, estos son "solo" propability olas. Básicamente, si usted sabe que su libre propagadores y cómo nudo de ellos en conjunto con los diagramas de Feynman, que sé toda la teoría. Un gráfico y, por tanto, illustrive ejemplo es la Verdura de la función de la ecuación del calor, donde literalmente se puede ver a continuación, la densidad de la disolución.