Estoy tratando de entender algunas de igualdad que aparece en la estabilidad de la teoría que implican conjuntos de gérmenes y creo que necesito un resultado como el siguiente, así que si alguien sabe algo acerca de esto y me ayuda sería maravilloso!
Deje $C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ ser el anillo de gérmenes en el $0\in \mathbb{R}^n$ de lisa mapas de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Escribimos $[f]\in C^{\infty}_0$ para denotar el germen de una función suave $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, y definir el conjunto $$\mathrm{Pol}_k(x_1, \cdots,x_n)=\{x_1^{i_1} x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\in K[X]\;| \;i_1+i_2+\dots+ i_n=k \},$$ where $K[X]$ is the polynomial ring in $n$ variables. Now, we can think of $C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ as a module over itself so the question is, Does the class of all polynomials generate $C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$? Específicamente, ¿es esto cierto?
$$C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n) = \langle 1,[\mathrm{Pol}_1(x_1,\cdots,x_n)],[\mathrm{Pol}_2(x_1,\cdots,x_n)],\cdots\rangle_{\mathbb{R}}$$
donde por $\langle [f_1],\cdots,[f_n]\rangle_{\mathbb{R}} \subset C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ nos referimos a la $\mathbb{R}$-submódulo generado por $[f_1],\cdots,[f_n]\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$.
--Lo siento creo que no se expresa correctamente lo que yo tenía en mente. En realidad lo que yo estaba tratando de hacer es algo como esto:
Si denotamos por a $\mathfrak{m}(n)$ el máximo ideal en $C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ compuesto de elementos en $[f]\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ de manera tal que sus representantes han $f(0)=0$. Esta igualdad (o un resultado similar), ¿correcto? $$C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n) = \langle 1,[\mathrm{Pol}_1(x_1,\cdots,x_n)],\cdots,[\mathrm{Pol}_n(x_1,\cdots,x_n)]\rangle_{\mathbb{R}} +\mathfrak{m}(n)^n$$ Me parece que podría ser la derecha. Me refiero a que al menos si $f$, un representante de $[f]\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$, es igual a la serie de Taylor parece cierto, pero hay funciones como $e^{-1/x^2}$...
