Permita que$X$ y$Y$ sean independientes Variables aleatorias, donde$X$ tiene distribución de Poisson y$Y$ está distribuido geométricamente. Determine$P(X=Y)$.
Dado que la distribución de Poisson se define en$N_{0}$ y la distribución geométrica en$N$ o en$N_{0}$ dependiendo de la potencia. Por lo tanto, elijo la forma en que se define la distribución geométrica en$N_{0}$.
Así,
$\begin{align}\mathsf P(X=Y) &= \sum_{k=0}^\infty \mathsf P(X=k,Y=k) \\[1ex] &= \sum_{k=0}^\infty \mathsf P(X=k)~\mathsf P(Y=k)\\[1ex] &= \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}\cdotp(1-\theta)\theta^k \\[1ex] & = e^{-\lambda}(1-\theta) \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda \theta)^{k}}{k!} \\[2ex] &= e^{-\lambda}(1-\theta)~e^{\lambda \theta} \\[2ex] &= e^{\lambda(\theta -1)}(1-\theta)\end{align}$
¿Es esto correcto? ¡Agradecería cualquier pista!
