¿Teoremas de tipo Goldbach a partir de modelos densos?

Question

No soy un teórico de los números, así que pido disculpas si esto es trivial u obvio.

Por lo que entiendo de los resultados de Green-Tao-Ziegler sobre la combinatoria aditiva en los primos, la principal herramienta técnica nueva es el "teorema del modelo denso", que -hablando informalmente- es el siguiente:

Si un conjunto de enteros $S \subset N$ es un subconjunto denso de otro conjunto "pseudoaleatorio" de enteros, entonces hay otro conjunto de enteros $S' \subset N$ tal que $S'$ tiene densidad positiva en los enteros y $S, S'$ son "indistinguibles" por una determinada clase de funciones de prueba.

A continuación, utilizan algunos trabajos de Goldston y Yildirim para demostrar que los primos satisfacen la hipótesis dada, y observan que si los primos no contienen progresiones aritméticas/polinómicas largas y $S'$ lo hicieran, se distinguirían por la clase de funciones. Aplicando el teorema de Szemeredi, la prueba está completa.

Obviamente, estoy pasando por alto una gran cantidad de detalles técnicos, pero me parece que esta es una visión de alto nivel razonablemente precisa del enfoque básico.

Mi(s) pregunta(s), entonces: ¿Se puede utilizar un enfoque similar para obtener resultados del tipo "Goldbach", afirmando que todo número entero suficientemente grande es la suma de a lo sumo k primos? ¿Está esto ya implícito en la "caja negra" de Goldston-Yildirim? Si no podemos obtener teoremas de tipo Goldbach utilizando modelos densos, ¿cuál es el principal obstáculo para hacerlo?

Answer 1

Sí, esto se puede hacer, siempre que k es de al menos 3. Un ejemplo típico se da en este documento: http://arxiv.org/abs/math/0701240 . (Esto toma un poco más de Fourier basado en el método de Ben que precede a su trabajo conmigo, pero sin duda está en el mismo espíritu de Ben papel fue muy inspirador para nuestro trabajo conjunto.)

Para k=2, por desgracia, el tipo de indistinguishability ofrecidos por la densa modelo teorema no es lo suficientemente fuerte como para decir nada. El k=2 problema es muy similar a la doble primer conjetura (en ambos casos, uno está tratando de buscar un aditivo patrón de los números primos con un solo grado de libertad). Si uno elimina todas las camas de los números primos a partir del conjunto de los números primos, se obtiene un nuevo conjunto que es indistinguible de la del conjunto de los números primos en el sentido de la densa modelo teorema (debido a que el doble de los números primos han densidad de cero en el interior de los números primos, por Brun teorema), pero, por supuesto, el último no tiene más gemelos. Uno puede tirar de un truco similar con representaciones de N como suma de dos primos. Pero uno no puede hacerlo con las sumas de tres o más números primos - hay demasiadas representaciones para eliminar a todos ellos sólo mediante la eliminación de un par de números primos.