Encontrar el cierre integral de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}[i]$

Question

Me acabo de enterar de lo de la integral de cierre.

Me gustaría saber ¿cuál es la intergral de cierre de $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}[i]$.

Deje $\mathcal{R}$ integral de cierre de $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}[i]$. Para determinar el $\mathcal{R}$ empecé a notar que $$\mathbb{Z}[i]\subset \mathcal{R}.$$ De hecho, si $\alpha = x+iy\in \mathbb{Z}[i]$, $\alpha$ es una raíz del polinomio monic $$f(X)=X^2-2xX+x^2+y^2\in\mathbb{Z}[X].$$

Y sabemos que desde $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}[i]$ son anillos así es $\mathcal{R}$.

A partir de ahí no estoy seguro, es cierto que no existe ningún anillo de $A$ tal que $$\mathbb{Z}[i] \subsetneq A \subsetneq \mathbb{Q}[i] \text{ ?}$$ He asumido y que muestran que la $1/2\notin \mathcal{R}$ por ejemplo, de lo contrario existe un monic polinomio $f\in \mathbb{Z}[X]$ tal que

$$f\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2^n}+a_{n-1}\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{1}{2}+a_0 =0$$

Así

$$2^n f\left(\frac{1}{2}\right) =0 \iff -1=2\underbrace{(a_{n-1}+\cdots +2^{n-2}a_1+2^{n-1}a_0)}_{\in \mathbb{Z}}$$

lo cual es imposible.

En conclusión $\mathbb{Q}[i]\not\subset\mathcal{R}$$\mathcal{R}=\mathbb{Z}[i]$.

Es mi prueba correcta ? Existe otra (más fácil) para demostrar que ? Y la más importante, es que no existe un método general para encontrar la integral de cierre, por favor ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

$X = a+ib \in \mathbb Q[i]$ es parte integral de la fib es una solución de un monic polinomio en $\mathbb Z[X]$ de grado 1 o 2. El cálculo de $X^2$ tenemos

$X^2 -2aX +a^2 + b^2=0$.

Por lo tanto $-2a$ $a^2 + b^2$ deben ser números enteros. Así que si $a$ es un número entero, $b$ es un número entero, dándonos $\mathbb Z[i]$. Si $a=\frac k 2$ $k$ entero impar, obtenemos $k^2/4 + b^2 \in \mathbb Z$$4b^2 + k^2 \equiv 0 \pmod 4$, absurdo.

Hay un montón de métodos para encontrar un anillo de los enteros, pero que yo sepa no hay un método estándar, por desgracia. Por ejemplo, el anillo de enteros de $\mathbb Q[\zeta_n]$, $\zeta_n$ $n$- ésima raíz de la unidad, es difícil de calcular (incluso si es la esperada $\mathbb Z[\zeta_n]$).