Para la parte superior triangular de la matriz de anillo dado por $\begin{pmatrix}\mathbb{Q}&\mathbb{R}\\0&\mathbb{R}\end{pmatrix}$ quiero para determinar su izquierda ideales. Por ejemplo, este enlace se refiere a Lam "Un primer curso en la no-conmutativa de los anillos", que se aplica a un genérico de la matriz de anillo de $\begin{pmatrix}R&M\\0&S\end{pmatrix}$:
La izquierda ideales son todos de la forma $I_1\oplus I_2$ donde $I_2$ es un a la izquierda ideal de $S$, e $I_1$ es una izquierda $R$ submódulo de $R\oplus M$ que contiene $MI_2$.
Quiero traducir esta explícitamente determinar todos los de izquierda ideales de mi matriz de anillo arriba. Así que esto es sólo una mera traducción de ejercicio. Vamos a ver si soy capaz de hacerlo correctamente.
$I_2$ es una izquierda ideal de $\mathbb{R} \implies I_2 = 0$ o $I_2 = \mathbb{R}$
$I_1$ es una izquierda $\mathbb{Q}$-submódulo de $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{R}$ que contiene $\mathbb{R}I_2$
Así que ahora, desenrollar esta definición compleja.
Un $\mathbb{Q}$-módulo es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. La base de este espacio vectorial es $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{R}$, con lo cual me identifico con $\mathbb{Q} \times \mathbb{R}$. Así que aquí estoy considerando las operaciones de la especie $q_1(q,r) = (q_1q,q_1r)$ y tengo que determinar los subespacios de este espacio vectorial. Es tan fácil como tomar un subespacio de $\mathbb{Q}$ (probablemente $\{0\}$ o $\mathbb{Q}$ y un subespacio de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ (dando una extensión de campo?) y, a continuación, haciendo el producto? Pero entonces, ¿cómo puede contener $\{0\},\mathbb{R}$ si es bidimensional?
Me pueden ayudar a resolver esta situación?
Pensamientos
Hay algún tipo de identificación en el enunciado del teorema debido a $MI_2$ debe $\mathbb{R}$ $\{0\} \times \mathbb{R}$
ok, ahora veo la identificación, corresponde a $\begin{bmatrix}0 & M \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & MI_2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$
Sin embargo, todavía no veo muy bien lo que debe ser explícitamente los conjuntos en @rschwieb respuesta. A mí me parece que para el segundo, las posibilidades son $\mathbb{Q} \times \mathbb{R}$$\{0\} \times \mathbb{R}$. ¿Y el primero?
