Averiguar $S:=1+\frac12-\frac13-\frac14+\frac15+\frac16-\frac17-\frac18+\cdots$

Question

Estaba dispuesto a determinar la suma de los siguientes$$S:=1+\frac12-\frac13-\frac14+\frac15+\frac16-\frac17-\frac18+\cdots$ $

Intenté lo siguiente \begin{align*} S=&\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right)\\ =&\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\int_0^1 x^{2n-2}dx+\int_0^1 x^{2n-1} dx\right)\\ =&\int_0^1 \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\left(x^{2n-2}+x^{2n-1}\right)\\ =&\int_0^1 [x^{-2} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}+x^{-1} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}] \end {align *} y no sé después de qué hacer. ¿Puedes ayudarme por este motivo?

Agradeciendotelo de antemano

Answer 1

Tenga en cuenta que $$S=A+B$$ where $\displaystyle A = \sum {k\ge 1} \frac {(-1) ^ {k-1}} {2 k-1}, \ B = \sum {k\ge 1} \frac {(-1) ^ {k-1}} {2 k} $. Clearly, $B=\displaystyle \frac{\ln 2}{2}$. and, $A=\tan^{-1}1=\pi/4$ which you can find out using your technique as below $$A=\sum_{k\ge 1}(-1) ^ \int0^1 {k-1} x ^ {2 k-2} dx\ = \int {0} ^ 1\ sum {}(-1) k\ge 1 ^ x {k-1} ^ {2 k-2} dx\quad (\mbox {uso Fubini para justificar el cambio de orden}) \=\int {0} ^ 1 \frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1}1=\pi/4\ \mbox{similarly,} \ B = \int {0} ^ 1 \sum{k\ge 1}(-1) ^ {k-1} x ^ {2 k-1} dx\ = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx\ = \frac {\ln 2} {2} $

Answer 2

No sólo escribir esto como

$$\sum{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2 k+1} + \frac12 \sum{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k+1} = \frac{\pi}{4} + \frac12 \log{2}$$

Answer 3

Deje$$S = \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right).$ $ Entonces

$ \begin {eqnarray} S & = & \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{2k}\left(\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k}\right) + \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{2k+1}\left(\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{4k+2}\right) \nonumber \\ & = & \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\frac {1} {4k - 1} - \frac {1} {4k + 1}\right) + \sum_{k =1}^{\infty} \left(\frac {1} {4k} - \frac {1} {4k + 2}\right), \end {eqnarray} $

que es más fácil de seguir ahora.