Comprender la secuencia espectral de Adams y el isomorfismo de Pontryagin-Thom de forma intuitiva

Question

La pregunta es acerca de la comprensión de Adams espectral de la secuencia de forma intuitiva y algunos de los significados de sus relaciones.

En Adams espectral de la secuencia,

$$E_2^{s,t}=\text{Ext}_{\mathcal{A}}^{s,t}(H^*(MTG), \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \Rightarrow (\pi_{t-s} MTG)_2^\wedge. \tag{eq.1} $$

• $E_2^{s,t}$ $E_2$ información de la página en el espectro de la secuencia.

• $Ext^{s,t}_{\mathcal{A}} (A,B)$ significa Ext functor, el grupo de extensiones de la longitud de la $s$: $$A[t] \to C_1 \to ... C_s \to B$$ como los módulos a través de álgebra de Steenrod $\mathcal{A}$ (no sólo para abealian grupos), donde $[t]$ denota cambio en la clasificación de los puestos.

• $MTG$ es el Madsen-Tillman espectro. Pontryagin-Thom isomorfismo proporciona una relación entre la bordism grupos de colectores con el estable tangencial de la estructura y homotopy grupos de la Madsen-Tillman espectro de $MTG$ (que es un primo cercano de la más habitual Thom espectro de $MG$) asociada a tangenciales estructura $G$.

• $( ... )_2^\wedge$ es el 2 de finalización aplicado a $\pi_n MTG$ (se aplica a abelian grupos). En general, un $p$-finalización (prime $p$) de un grupo Abelian $G$ significa que nos tomamos el límite lim${}_{n\to \infty} A/(p^n A)$. Prácticamente tomamos $p$-torsión parte de $A$, además de liberar parte donde $\mathbb{Z}$ es representado como $p$-ádico enteros $\mathbb{Z}_{(p)}$.

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Pregunta:

1. Es mi entendimiento de arriba correcto, precisamente?

2. ¿Cómo podemos establecer la relación en (eq.1) de $E_2^{s,t}=\text{Ext}_{\mathcal{A}}^{s,t}(H^*(MTG) \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ intuitivamente?

3. ¿Cómo podemos deducir la relación en (eq.1) $$E_2^{s,t} \Rightarrow (\pi_{t-s} MTG)_2^\wedge,$$ y cómo sabemos que el $E_2$ información de la página es completa? (¿Cómo sabemos si tenemos todas las prime $p$-a la finalización, en lugar de sólo $2$-realización?

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Para un poco de información, uno puede comprobar estos Ref 1, 2, y las citas en el mismo.

Answer 1

Sus preguntas parecen muy amplio, y probablemente sería mejor servido por un libro de texto de referencia. Voy a tratar de dar algunas perspectivas que pueden ayudar.

Dadas dos espectros $X$$Y$, se le compute la asignación de espacio de $\operatorname{Map}(X,Y)$. El Adams espectral de la secuencia es una especie de manera de dividir este cálculo en un "algebraicas" y un "topológico" parte, en la idea de la algebraicas cálculo debe ser de rutina.

En general, los espacios y los espectros son difíciles de trabajar (en comparación con el álgebra), así que en lugar de estudiar el espectro de los mapas de $X \to Y$, se aplica una cohomology teoría de la $E$ y considerar los mapas de $E^* E$-módulos de $E^* Y \to E^* X$. Hay un homomorphism $$[X, Y] \to \operatorname{Hom}_{E^* E}(E^* Y, E^* X),$$, pero esto es en general, ni un monomorphism o un epimorphism.

Podemos hacer un poco mejor: en lugar de la aproximación de la categoría de los espectros sólo por $E^*E$-módulos, se puede aproximar por el (todavía algebraicas) que se derivan de la categoría de $E^* E$-módulos, y considerar la posibilidad de $$\operatorname{Ext}_{E^* E}^*(E^* Y, E^* X)$$ como nuestra aproximación. Topológicamente, este debe tomar en cuenta algunas de las "primarias adjuntando datos".

Pero esta álgebra homológica aproximación todavía no nos da $[X,Y]$, para un par de razones. Uno es que no hemos tenido en todos los de la topología en $X$$Y$. Esto se verá reflejado en las diferencias en el Adams espectral de la secuencia, y esto es en general muy duro, ya que en general no será infinitamente muchas diferencias y no existe ningún algoritmo para calcular todos ellos.

Otra de las razones, como se mencionó, es que nuestro algebraicas aproximación depende de la cantidad de la teoría de la $E$ ve en la categoría de los espectros. Resulta que si $E = H\mathbb{F}_p$, entonces no podemos ver ninguna de las $q$-información local para cualquier prime $q \neq p$. Por otro lado, si $E = MU$, luego nos vemos "suficiente".

Así que la intuición es que el $E_2$-la página de la Adams espectral de la secuencia es la mejor aproximación a la categoría de los espectros por la derivada de la categoría de $E^* E$-módulos.

Para responder a sus preguntas de rigor, usted tiene que saber cómo el Adams espectral de la secuencia se construye. Hay diferentes maneras de pensar, pero una agradable enfoque es a través de descenso. Permítanme especializarse para el caso de $X = \mathbb{S}$ por la simplicidad.

El functor $E \wedge -$ a partir de los espectros de a $E$-módulo de espectros es parte de la contigüidad, y podemos formar la monádica descenso objeto $$Y \leftarrow E^{\wedge \bullet + 1} \wedge Y.$$ This is a cosimplicial spectrum whose totalization is $$\operatorname{Tot}(E^{\wedge \bullet + 1} \wedge Y) =: Y_E,$$ the $E$-localization of $S$. This is why the $E$-based Adams spectral sequence can only see $E$-información local.

El Adams espectral de la secuencia es el Bousfield-Kan espectral de la secuencia de los cosimplicial espectro de $E^{\wedge \bullet + 1} \wedge Y$. Observar que hemos $$E^{\wedge \bullet + 1} \wedge Y \simeq (E \wedge E) \wedge_E \cdots \wedge_E (E \wedge E) \wedge_E (E \wedge Y),$$ so the $E_1$-page looks like $$(E_* E)^{\otimes s} \otimes_{E_*} (E_* Y),$$ which is the standard bar construction for $E_* Y$ in $E_* E$-comodules. Thus it should come as no surpise that the $E_2$-page is given by some standard functor in homological algebra. Specializing to $H\mathbb{F}_2$ and $Y = MTG$, dualizing (since we want the cohomology ASS), and doing some homological algebra, we get $$E_2 = \operatorname{Ext}_{H^*H}^{s,t}(H^* MTG, \mathbb{F}_2) \Rightarrow \pi_{t-s} MTG^\wedge_2,$$ cual es la forma de la Adams espectral de la secuencia que usted quería.