la norma inducida por la distancia implica una distancia invariante de traducción?

Question

En su libro Análisis lineal , Bollobás dice

Dada una métrica $d$ sobre un espacio vectorial $X$, establecimiento $||x||=d(x,0)$ define una norma en $X$ fib $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|d(x,y)$ todos los $x,y,z \in X$ y escalares $\lambda$.

La parte donde la distancia es homogénea y traducción invariante implica que $||x||=d(x,0)$ es una norma es muy fácil y estoy listo con eso.

Estoy atascado en el otro lado. En particular, no tengo idea de cómo probar que la distancia debe ser la traducción invariante (homogeneidad es simple).

Cualquier consejo sería una gran ayuda.

Answer 1

La afirmación no es verdadera.

Vamos a considerar $\mathbb{R}^2$ como un espacio métrico en el así llamado "ferrocarriles de francia distancia" $\delta$. La distancia $\delta(A,B)$ desde un punto de $A$ $B$es el habitual (euclidiana) distancia $\overline{AB}$ si se encuentran en el mismo rayo desde el origen $O$. De lo contrario, $\delta(A,B)=\overline{AO}+\overline{OB}$.

Podemos escribir $\delta(a,B)=\begin{cases} |A|+|B|, & \text{if %#%#%} \\ |A-B|, & \text{if %#%#% for some %#%#%} \end{casos}$

Voy a demostrar que $A\neq \lambda B$ es una función de distancia. De hecho:

1. $A= \lambda B$ $\lambda$
2. $\delta$. Esto es evidente para cualquier caso.

3. $\delta(A,B) \geq 0\ \forall\ A,B\in \mathbb{R}^2$. Aquí tenemos un montón de casos:

   • $\delta(C,C)=0\ \forall C \in \mathbb{R}^2$A\neq \lambda B$\delta(A,B)=\delta(B,A)$C\neq \lambda$\delta(A,B)\leq \delta(A,C)+\delta(C,B)$C\neq \lambda B.$\fbox{$$. $.

   • $ and $A\neq \lambda B$}$C\neq \lambda$\delta(A,B)=|A|+|B|\leq |A|+|C|+|C|+|B|=\delta(A,C)+\delta(C,B)$C= \lambda B$\fbox{$\lambda$, $$ but $.

   • $ for some $A\neq \lambda B$.}$C\neq \lambda B$\delta(A,B)=|A|+|B|=|A|+|B-C+C|\leq |A|+|C|+|B-C|=\delta(A,C)+\delta(C,B)$C= \lambda$\fbox{$\lambda$, $ Como en el caso anterior, aquí la desigualdad es cierto, también, por la simetría.
   • $ but $A\neq \lambda B$ for some $C= \lambda_1 Un$.}$\lambda_1$\fbox{$C= \lambda_2 B$, $\lambda_2$ for some $ No puede ser posible.
   • $ and $= \Lambda B$ for some $\lambda$.}$C\neq \lambda_1 Un$\fbox{$C\neq \lambda_2 B$ for some $$, $.
   • $ (and then $= \Lambda B$).}$\lambda$\delta(A,B)=|A-B|\leq |A|+|B|\leq |A|+|C|+|B|+|C|=\delta(A,C)+\delta(C,B)$C= \lambda_1 Un$\fbox{$\lambda_1$ for some $C= \lambda_2 B$, $\lambda_2$ for some $$ (and then $.

Y es homogéneo, porque claramente $ for some $ para cualquier caso.

Sin embargo, no es la traducción invariante. Si tomamos A=(3,0), B=(0,3), a continuación, $).}$ y la traducción por $\delta(A,B)=|A-B|=|A-C+C-B|\leq |A-C|+|C-B|=\delta(A,C)+\delta(C,B)$ tenemos $\delta(\rho A,\rho B)=|\rho|\delta(A,B)$ $\delta(A,B)=6$ $C=(4,0)$

Ahora, podemos ver que la configuración de $A+C=(7,0)$ define una norma en $B+C=(4,3)$. De hecho:

i)$\delta(A+C,B+C)=7+5=12.$ fib $||A||=d(A,0)$ fib $\mathbb{R}^2$.
ii)$||A||=0$.
iii)$\delta(A,0)=0$.