Puntos críticos de un mapa uniforme en una variedad compacta

Question

Muestran que una suave mapa de $f$ a partir de un pacto colector $N$ $\mathbb R^m$tiene un punto crítico. (Sugerencia: Deje $\pi$: $\mathbb R^m \rightarrow \mathbb R$ ser la proyección para el primer factor. Considerar el mapa compuesto $\pi $ $\circ$ $f$: $N \rightarrow \mathbb R$.

Supuestos:

$N$ es un compacto de colector de

$\pi $ $\circ$ $f$: $N \rightarrow \mathbb R$.

$\pi$: $\mathbb R^m \rightarrow \mathbb R$

$f$ es un buen mapa.

Intento de prueba: Deje $p \in N$. La suavidad de $f: N \rightarrow \mathbb R^m$ significa que hay tablas $(U,\phi)$ $p \in N$ $(V,\psi)$ sobre $f(p)$ $\in \mathbb R^m$ tal que $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ es suave.

Yo estaba pensando en si debo usar un gráfico de $(V,\pi)$ $\mathbb R^m $ y posiblemente $(U, \pi \circ f)$$N$. También me pregunto cómo usar la compacidad de N. estoy un poco perdido, así, sin dar la solución completa, estoy en busca de un empujón en la dirección correcta a través de algún extra asesorar sobre cómo abordar este problema.

Por CIERTO, estoy usando la Introducción de Colectores por Loring Tu.

Answer 1

La sugerencia de que está relacionado con el hecho de que cada liso función real (es decir, $f:M \to \mathbb{R}$) en un compacto colector tiene un punto crítico. Este es, a su vez, debido al hecho de que toda función real continua en un conjunto compacto alcanza un máximo en algún punto de $p$. Entonces, si la función es diferenciable en este punto $p$, tenemos que la derivada es cero (si usted no sabe cómo probar esto, usted puede escoger curvas que pasen a través de $p$ y el uso de la variable de resultado de "máximo local$\implies f'=0$". El siguiente paso depende de su definición explícita de la derivada en los colectores).

Dado que, se utiliza la regla de la cadena en su caso. De hecho, dejando $p$ ser un punto crítico de $\pi \circ f$, sabemos que $(\pi \circ f)'_p=\pi'_{f(p)} \circ f'_p=0,$, lo que implica que $f'_p$ no puede ser surjective, ya que la composición de surjective lineal mapas de $(\pi'_{f(p)}$ es, obviamente, surjective) es surjective.

Sólo para ser explícito, ya que esto puede causar confusión: un punto crítico es no un punto donde la derivada es cero, en general. Es un punto donde la derivada no es surjective. Estos conceptos coinciden en el caso de codominio con dimensión$1$, debido al hecho de que lineal mapas con $1$-dimensiones codominio son surjective o cero.