Suma de series infinitas $\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos^{2n+1}x}{2n+1}$ .

Question

¿Cómo abordar este tipo de cuestiones?

W $$\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos^{2n+1}x}{2n+1}$$

Para $x=0$ se reduce a $1+1/3+1/5+...$ que diverge por la prueba integral. De hecho, se supone que la respuesta es $\log\cot (x/2)$ . ¿Cómo llegamos a ella?

Answer 1

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n+1}}{2n+1}=\tanh^{-1}t=\frac12\log\frac{1+t}{1-t}.$$ para $|t|<1$ . Sustituir $t=\cos x$ . $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos^{2n+1}x}{2n+1}=\frac12\log\frac{1+\cos x} {1-\cos x}.$$ Esto puede simplificarse aún más utilizando fórmulas de medio ángulo.

Answer 2

Dónde $x\neq k\pi$ tenemos $|\cos x|<1$ y $$\sum_{n=0}^\infty \cos^{2n}x=\dfrac{1}{1-\cos^2 x}$$ la integración da $$\sum_{n=0}^\infty \int \cos^{2n}x(-\sin x)\ dx=\int\dfrac{-\sin x}{1-\cos^2 x}\ dx$$ por lo tanto $$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{\cos^{2n+1}x}{2n+1}=\ln\cot\dfrac{x}{2}$$