¿Por qué el functor de homología es aditivo?

Question

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea una categoría abeliana y $\text{Ch}_*(\mathcal{A})$ la categoría de los complejos de cadena $A_\bullet$ de objetos en $\mathcal{A}$ . Dejamos que $$H_i(A_\bullet):=\text{Coker}(\text{im}_{d_{i+1}}\to \text{ker}(d_i)).$$ ¿Por qué el functor $H_i:\text{Ch}_*(\mathcal{A})\to\mathcal{A}$ ¿un functor aditivo? Donde aditivo significa que $\text{Hom}(A_\bullet,B_\bullet)\to \text{Hom}(H_i(A_\bullet),H_i(B_\bullet))$ es un homomorfismo de grupo.

He dibujado muchos diagramas, pero no consigo saber cómo mostrar esto. He visto que ser exacto a la izquierda o a la derecha implicaría esto, pero no puedo determinar si alguna de esas propiedades se mantiene.

Answer 1

Hay muchas formas de demostrar estas afirmaciones, algunas más elegantes que otras, pero como has intentado elaborar la prueba mediante la persecución de diagramas, supongo que estás buscando una solución a mano.

Hay que demostrar que para cada par de morfismos $$f,g \in \text{Ch}_*(\mathcal A)[A_\bullet,B_\bullet]$$ se cumple la siguiente igualdad $$H_i(f+g) = H_i(f)+H_i(g)\ .$$

Por definición $H_i(f+g) \colon H_i(A_\bullet) \to H_i(B_\bullet)$ es el morfismo único que hace conmutar el siguiente diagrama: $$\require{AMScd}\begin{CD} \operatorname{im}d_{i+1}^A @>>> \ker d_i^A @>>> H_i(A) \\ @V{f+g}VV @VV{f+g}V @VV{H_i(f+g)}V \\ \operatorname{im}d_{i+1}^B @>>> \ker d_i^B @>>> H_i(B) \end{CD}$$ donde las flechas verticales son las obvias.

Por lo tanto, para demostrar la igualdad mencionada anteriormente sólo hay que demostrar la conmutatividad del cuadrado $$\begin{CD} \ker d_i^A @>\pi_i^A>> H_i(A) \\ @V{f+g}VV @VV{H_i(f)+H_i(g)}V \\ \ker d_i^B @>>\pi_i^B> H_i(B) \end{CD}$$ es decir, que la igualdad $$\pi_i^B \circ (f+g) = (H_i(f)+H_i(g))\circ \pi_i^A$$ se mantiene (donde $\pi_i^X \colon \ker d_i^X \to H_i(X)$ es el núcleo de la inclusión $\operatorname{im} d_{i+1}^X \to \ker d_i^X$ ).

Dicha igualdad se desprende del hecho de que $$\pi_i^B \circ f=H_i(f)\circ\pi_i^A,$$ $$\pi_i^B \circ g=H_i(g)\circ\pi_i^A,$$ y la bilinealidad de la composición: $$\begin{align*} \pi_i^B \circ (f+g) &= (\pi_i^B \circ f)+(\pi_i^B \circ g) \\ &= (H_i(f)\circ\pi_i^A)+(H_i(g)\circ\pi_i^A) \\ &= (H_i(f)+H_i(g))\circ\pi_i^A \end{align*}$$

De esto se desprende su afirmación.

Espero que esto ayude.