Escuché en una charla que un agujero negro de BTZ puede ser obtenido como una identificación del $AdS_3$ el espacio tiempo. ¿Por qué exactamente es cierta la afirmación?
También es cierto que en (2+1)D todas las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein con una constante cosmológica negativa pueden mostrarse como identificaciones de $AdS_3$ ?
En primer lugar, recordemos que en tres dimensiones el tensor de curvatura de Weyl es idénticamente cero. Por lo tanto, debido a Descomposición de Ricci El tensor de Riemann está completamente determinado por el tensor de curvatura de Ricci. En un espacio vacío con constante cosmológica el tensor de Ricci es a su vez proporcional a la métrica (debido a las ecuaciones de campo de Einstein). Esto significa que localmente el espaciotiempo se parece (es isométrico) al espaciotiempo de máxima simetría: espacio de Sitter o anti-sitter (o plano), dependiendo del signo de la constante cosmológica (o del cero).
Escuché en una charla que un agujero negro BTZ puede obtenerse como una identificación del AdS ${}_3$ espacio-tiempo. ¿Por qué es cierta esta afirmación?
El agujero negro BTZ surge de la identificación de puntos del espacio anti-de Sitter por acción de un subgrupo discreto de $SO(2,2)$ isometrías. La construcción se detalló por primera vez en el seguimiento del primer documento de BTZ:
Exponenciando un determinado campo vectorial de Killing $\xi$ define un grupo paramétrico de isometrías del espacio anti-de Sitter: $$P \to e^{\alpha\xi} P, \qquad \alpha\in \mathbb{R}.$$
Para obtener un espaciotiempo de agujero negro BTZ hay que seleccionar primero la región de AdS ${}_3$ espacio donde el vector $\xi$ es de tipo espacial (para evitar las curvas cerradas de tipo temporal, CTC's) y luego identificar los puntos de esta región conectados por la acción de un subgrupo discreto de un grupo paramétrico de isometrías: $$P \to e^{\alpha \xi} P, \qquad \alpha=0,\pm2 \pi,\pm 4 \pi,\ldots$$
Para visualizar esta construcción se puede tratar de encontrar un dominio fundamental para la acción de este subgrupo discreto. El más sencillo es un caso de agujero negro BTZ sin espín (cuando el parámetro $r_{-}=0$ ), análogo al agujero negro de Schwarzschild.
En coordenadas de la salchicha El espacio anti-de Sitter se representa como un cilindro relleno con cada rebanada de espacio en $t=\rm const$ siendo un Disco de Poincaré . (Véase, por ejemplo, el apéndice Visualización del espacio anti-de Sitter arXiv:1406.4326 ).
Un campo vectorial matador que produce un agujero negro podría tomarse como un generador de impulsos en un espacio de incrustación $J_{YV}$ (Esto es ligeramente diferente a la transformación del documento original). El flujo de este campo podría visualizarse así:
Para la acción del subgrupo de identificación discreta el dominio fundamental tendría este aspecto (imagen tomada de arXiv:gr-qc/9604005 ):
Regiones punteadas en cada corte $t=\rm const$ se eliminan, (y para $t=0$ contienen los puntos de atracción y repulsión limitantes de la imagen anterior), y las líneas discontinuas representan los horizontes (en $t=0$ se bifurca). La longitud de cada horizonte es, por supuesto, la misma en cualquier momento. El espaciotiempo de los agujeros negros se obtiene pegando dos cortes de cada rebanada $t=\rm const$ . Dos regiones que tocan el límite de un cilindro son regiones asintóticamente adS "exteriores" (serían estáticas en un sistema de coordenadas convenientemente elegido), y las líneas $t=\pm \pi/2$ donde los extremos del dominio fundamental son las singularidades interiores (pasado y futuro).
También es cierto que en (2+1)D todas las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein con una constante cosmológica negativa pueden demostrarse como identificaciones de AdS ${}_3$ ?
Eso parece. El resultado original está en un documento:
Para las anotaciones, las explicaciones adicionales y las referencias recientes hay un documento complementario:
Por cierto, para una constante cosmológica positiva (espacio de Sitter local) esto no es cierto.
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