Puede que el color de cada entero positivo, ya sea negro o blanco, que no hay ningún completamente blanco o completamente negro no constante infinito progresiones aritméticas?
Cómo cambiar de color cada potencia de 2?
1,4,5,6,7,16,...,31,64,...
2,3,8,9,10,11,12,13,14,15,32,...
Cualquier intento de AP finalmente cortó.
El Color de la primera entero de blanco, en los próximos dos números enteros negro, los próximos tres enteros blanco, etc. Vamos a llamar a estas secciones de los sucesivos números enteros con los mismos colores, los "bloques". Así tenemos sucesivamente bloques de longitud 1, 2, 3, 4, etc.
Ahora considere la posibilidad de una progresión aritmética $a_n = a_0 + nd$ para algunos enteros positivos $a_0, d$ ($n = 0, 1, 2, \dots$). Deje $k$ ser un entero positivo tal que el bloque de longitud $kd$ viene después de $a_0$. Hay al menos un elemento de la progresión que se encuentra en este bloque. Supongamos que $a_n$ es el último elemento de la progresión que se encuentra en este bloque y, a continuación, $a_{n+1}$ se encuentra en el siguiente bloque, de longitud $kd+1$, y por lo tanto tiene el color opuesto. Por lo tanto, cualquier progresión aritmética contiene los sucesivos elementos de la $a_n, a_{n+1}$ de color opuesto, como teníamos que probar.
En primer lugar, observar que se pueden enumerar todos los posibles infinito, no constante progresiones aritméticas. Cada uno puede ser descrito por la especificación de un par de enteros positivos: el primer número y la diferencia entre los términos sucesivos. (por el contrario, todos los pares de enteros positivos especifica una secuencia)
Así que usted puede color de los enteros positivos por el método siguiente:
Para cada sucesión aritmética:
Elija cualquier color que usted desea para el resto de los números positivos.
Con la específica combinación de colores del paso 2, paso 3 en realidad no es necesario hacer nada y puede ser omitido. Lo incluyo porque el argumento claramente se generaliza a otros esquemas para decidir qué números enteros a color en el paso 2 de "el color de los dos más pequeños incoloro enteros", y algunos esquemas dejará a algunos enteros positivos sin distorsiones.
Una construcción realmente fácil: colorea todos los números con un número impar de dígitos en blanco, y colorea todos los números con un número par de dígitos en negro. Dado que los bloques de números blancos y negros aumentan geométricamente, mientras que una progresión aritmética aumenta aritméticamente, no existe una progresión aritmética monocromática.
Si considero el número irracional$z=\sum_{i=1}^{\infty} 10^{-i!}=0,110001000...$ como una representación de números naturales, donde 1 significa blanco y 0 significa negro. Permita que$\{a_n\}$ sea una progresión aritmética, donde$a_{n+1}-a_n=k$: si existiera una serie similar, significaría que, en la representación decimal de z, hay el mismo dígito repitiendo cada k dígitos, pero esto es imposible porque z es irracional. Por lo tanto, esta progresión no existe.
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