Una subbase$S$ para una topología en$X$ es una colección de subconjuntos de$X$ cuya unión es igual a$X$.

Question

Munkres definición dice lo siguiente:

Un subbasis $S$ para una topología en $X$ es una colección de subconjuntos de a $X$ cuya unión es igual a $X$. La topología generada por la subbasis $S$ se define como la colección de $\mathcal T$ de todos los sindicatos de intersecciones finitas de elementos de $S$.

Ahora, una colección de subconjuntos de a $X$ cuya unión es igual a $X$ podría ser hecho de una colección de subconjuntos disjuntos de a $X$. En ese caso, la colección de $\mathcal T$ como se definió anteriormente es un conjunto vacío? ¿Cómo generar la topología de entonces?

Answer 1

En este caso, $T$ constará de todas las uniones de los elementos de $S$$\emptyset$. En efecto, como se dijo, la intersección de dos o más elementos de $S$$\emptyset$, pero un elemento en su propia cuenta, así como para una intersección.

De hecho, dado cualquier familia $\mathcal F$ de los conjuntos, la intersección de a $\mathcal F$, señaló $\bigcap\mathcal F$, es el conjunto de elementos que pertenecen a todos los elementos de a $\mathcal F$:

$$\bigcap\mathcal F:=\{x\,\mid\,\forall y\in\mathcal F,\,x\in y\}.$$

Una intersección finita de elementos de $S$ $\bigcap\mathcal F$ finita $\mathcal F\subset S$. En particular, si $U\in S$, $\bigcap\{U\}=U$.

Answer 2

Una intersección finita de los conjuntos es los conjuntos originales en sí mismos ...

Considere por ejemplo la topología discreta$\tau$ en un conjunto$X$. Entonces, los singletons$\{x\}$ serían una subbase ... Cada subconjunto está entonces abierto, como una unión de estos singletons, que son intersecciones de un único conjunto consigo mismo (la intersección trivial , por así decirlo).

Answer 3

La colección$T$ como se define en su pregunta no estará vacía.

Si$S$ es una partición de$X$, la colección de intersecciones finitas (no vacías) de$S$ será$S\cup\{\varnothing\}$. Esta colección sirve como base de la topología y un conjunto pertenecerá a esta topología si y solo si se puede escribir como una unión de elementos de$S$.