Para cualquier$n$, hay un poder de$2$ que contiene$n$

Question

Así que vi este problema en un libro de Olimpiadas: "Demuestre que para cualquier número natural$n$, existe un poder de$2$ que contiene$n$ en él".

Por ejemplo,$n=19$ está en$2^{13}=8192$,$n=24$ está en$2^{10}=1024$.

Intenté resolverlo por el principio de Pigeonhole, pero no hice ningún progreso. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Aquí hay un boceto rápido de una prueba:

1. Probar$\log_{10}(2)$ es irracional.

2. Demuestre que la parte fraccionaria de$n\alpha$, donde$n \in \mathbb{N}$ y$\alpha$ es irracional, es densa en$(0,1)$

3. Tenga en cuenta que la parte fraccionaria de$\log(x)$ determina los primeros pocos dígitos y luego usa la densidad de la parte fraccionaria de$n\alpha$ para probar que los primeros dígitos del número pueden ser cualquier$m \in \mathbb{N}$ ..

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