Cero vector de un espacio del vector

Question

Sé que cada espacio del vector tiene que contener un vector cero. Pero todos los espacios del vector que he visto tienen el cero vector realmente ser cero (por ejemplo, $\mathbf{0}=\langle0,0,\ldots,0\rangle$). ¿No puede el "cero vector" no involucrar a cero, mientras que actúa como identidad aditiva? Si es el caso entonces ¿hay cualquier representaciones gráficas de un espacio del vector que no contenga el origen?

Answer 1

He aquí un ejemplo. Deje $V$ ser el conjunto de todos los $n$-tuplas de la estrictamente números positivos $x_1,\ldots,x_n$ satisfacción $x_1+\cdots+x_n=1$. Definir la "adición" de tales vectores

$$(x_1,\ldots,x_n) \mathbin{\text{"}{+}\text{"}} (y_1,\ldots,y_n) = \frac{(x_1, y_1,\ldots,x_n y_n)}{x_1, y_1 + \cdots + x_n y_n }.$$

Este es un espacio vectorial cuyo cero es el elemento $$\left( \frac 1 de n , \ldots, \frac 1 n \right).$$ El inverso aditivo de a $(x_1,\ldots,x_n)$ es $$\frac{\left( \dfrac 1 {x_1}, \ldots, \dfrac 1 {x_n} \right)}{\dfrac 1 {x_a} + \cdots + \dfrac 1 {x_n}}.$$ Esta operación está involucrado en una identidad básica en probabilidades condicionales: $$(\Pr(A_1),\ldots,\Pr(A_n)) \mathbin{\text{"}{+}\text{''}} k\cdot(\Pr(D\mid A_1),\ldots,\Pr(D\mid A_n)) = (\Pr(A_1\mid D),\ldots,\Pr(A_n\mid D))$$ donde $k$ es lo que toma para hacer la suma de las entradas de $1$. Sin embargo, en la práctica, uno no se moleste con $k$; simplemente multiplique término por término y, a continuación, normalizar.

He aquí una más de la abajo-a-tierra ejemplo. Ver el $\mathbb R^3$ y diga que quiere poner el punto cero en $\vec p = (2,3,7)$. A continuación, definir la "adición" de la siguiente manera: $$\vec \mathbin{\text{"}{+}\text{"}} \vec b = \underbrace{\vec p + (\vec - \vec p) + (\vec b - \vec p)}_{\begin{smallmatrix} \text{These are the usual} \\ \text{addition and subtraction.} \end{smallmatrix}}.$$

Answer 2

Michael Hardy ofrece una muy buena respuesta. Quiero explicar lo que es tan excepcional.

Si usted tiene un espacio vectorial (digamos finito-dimensional), una vez que elija una base para el espacio vectorial, y una vez que se representan los vectores de esta base, el cero vector será siempre ser $(0,0,\ldots,0)$. Por supuesto, aquí están las coordenadas respecto a la base.

Normalmente describimos los elementos de $\mathbb R^n$ el uso de coordenadas que son, por supuesto, las coordenadas de la base más evidente de $\mathbb R^n$. Y lo mismo para cualquier subespacio. Así que esta pregunta no viene de allí.

El exótico ejemplos sólo ocurre cuando se utiliza coordenadas que no son realmente los indígenas para el espacio vectorial. Las coordenadas pueden tener algunas interesantes estructura matemática, sino una estructura que se que no tiene es la estructura de espacio vectorial que están representando. Llamarlos "coordenadas" es casi una mentira, ya que no actúan como vector de coordenadas de espacio en todas, por ejemplo, $(0,0,\ldots,0)$ no es el vector cero.

Answer 3

En los libros de álgebra lineal uno a veces encuentra el ejemplo $V = (0, \infty)$, el conjunto de reales positivos, con "además" definido por $$u \oplus v = uv$$ y "multiplicación escalar" definido por $$\odot c u = u ^ {c}.$$ Es muy fácil mostrar $(V, \oplus, \odot)$ es un espacio del vector, pero el vector cero (es decir, el elemento identidad para la $\oplus$) es $1$.

(El placer "reetiquetado" este ejemplo para parecerse a un espacio más familiar se deja como ejercicio).

Answer 4

El vector cero en un espacio del vector depende de cómo definir la operación binaria "Suma" en su espacio.

Answer 5

Para obtener un ejemplo que puede ser fácilmente visualizado, considere el espacio de la tangente en cualquier punto de $(a,b)$ del avión $\mathbb{R}^2$. Este es el espacio de "obligado vectores" que comienzan en el punto de $(a,b)$. Cualquier vector se puede escribir como $(a,b) + t(c,d)$ algunos $t \geq 0$$(c,d) \in \mathbb{R}^2$. El elemento cero en este espacio vectorial es el punto base $(a,b)$. Imágenes de Lee "Introducción a la Suave Colectores":

O considere el plano tangente a una esfera en cualquier punto, que es también, naturalmente, de un espacio vectorial:

Nota sin embargo que se está generalmente de sentido hablar de "cero" , sin tener una estructura de espacio vectorial (o alguna otra estructura algebraica con la noción de cero) en la mente ya.