¿Existe un% racional positivo$s$ para el cual la función Zeta de Riemann$\zeta(s) \in N$ o equivalente, existen enteros positivos finitos$\ell,m$ y$n$ tales que$$\zeta\left(1+\dfrac{\ell}{m}\right) = n$ $
He estado tratando de resolver esta pregunta y he progresado un poco. Computacionalmente puedo demostrar que un$l$debe ser mayor que$41$, pero obviamente este enfoque no responderá la pregunta. ¿Alguna idea sobre cómo abordar esto?
No entendí $l$$1$, pero en cualquier caso, como resultado parcial, he aquí una solución para el caso de $l=1$.
Fix$s\in\mathbb{R}$,$s > 1$.
En el intervalo de $(0,\infty)$, vamos $f(x)={\small{{\displaystyle{\frac{1}{x^{\large{s}}}}}}}$.
Se comprueba fácilmente que $ {\displaystyle{ \int_{1}^\infty \!f(x)\,dx = {\small{\frac{1}{s-1}}} }} $.
Considerar la infinita serie $ {\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} }} $.
Desde $f$ es positiva, continua y estrictamente decreciente, obtenemos \begin{align*} \int_{1}^\infty \!f(x)\,dx < \;&\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} < 1+\int_{1}^\infty \!f(x)\,dx\\[4pt] \implies\;{\small{\frac{1}{s-1}}} < \;&\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} < 1+{\small{\frac{1}{s-1}}}\\[4pt] \end{align*} Si $m$ es un entero positivo, entonces dejando $s=1+{\large{\frac{1}{m}}}$,${\large{\frac{1}{s-1}}}=m$, por lo tanto \begin{align*} {\small{\frac{1}{s-1}}} < \;&\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} < \;1+{\small{\frac{1}{s-1}}}\\[4pt] \implies\;m < \;\,&\zeta\bigl(1+{\small{\frac{1}{m}}}\bigr) < \;m + 1\\[4pt] \end{align*} por lo $\zeta\bigl(1+{\large{\frac{1}{m}}}\bigr)$ no es un número entero.
Puede usted resolver el problema, para cualquier otro valor de l, distinto de l=1? Por ejemplo, puede usted resolver el caso l=2?
Sí y de hecho puedo mostrar que $l \ge 41$. Aquí está el resumen de mi enfoque en el que estoy publicando como una respuesta ya que es demasiado largo para un comentario.
Paso 1: El primer paso era obtener el siguiente resultado
Para cada entero $n \ge 2$ existe un real positivo $c_n$ tal que ${\displaystyle{ \zeta\Big(1+\frac{1}{n-1+c_n}\Big) = n. }}$
Los primeros términos de la expansión asintótica de $c_n$ en términos de $n$ y el Stieltjes constantes $\gamma_i$
$$ c_n = 1-\gamma_0 + \frac{\gamma_1}{n-1} + \frac{\gamma_2 + \gamma_1 - \gamma_0 \gamma_1}{(n-1)^2} + O\Big(\frac{1}{n^3}\Big) $$
Paso 2: he calculado que el primer par de valores de$c_n$, pero yo no uso el resultado anterior. En lugar de eso utiliza la siguiente fórmula de recurrencia.
Deje $\alpha_0$ ser cualquier real positivo y ${\displaystyle{ \alpha_{i+1} = n + \alpha_r - \zeta\Big(1+\frac{1}{n -1 + \alpha_r}\Big); }}$ then ${\displaystyle{ \lim_{r \to \infty}\alpha_r = c_n}}$.
El uso de este se obtuvo $$ c_2 \aprox 0.3724062 $$ $$ c_3 \aprox 0.3932265 $$ $$ \ldots $$ $$ c_{12} \approx 0.4164435 $$
Paso 3: Mostrar que $l \ge 5$
Deje ${\displaystyle{ \zeta\Big(1+\frac{l}{m}\Big) \in N}}$ y deje $m = lk+d$ donde$\gcd(l,d) = 1$$1 \le d < l$.
Claramente, $c_2 \le c_n < 1-\gamma_0$ o $0.3724062 \le c_n < 0.422785$. Por lo tanto debemos tener ${\displaystyle{ 0.3724062 \le \frac{d}{l} < 0.422785}}$. La fracción con el menor valor de $l$ satisfacer esta condición es ${\displaystyle{\frac{2}{5} }}$ por lo tanto $l \ge 5$.
Extender el mismo enfoque soy capaz de demostrar que $l \ge 41$.
Los problemas con este enfoque:
Con este enfoque y con un potente rendimiento, podemos probar los resultados como si ${\displaystyle{ \zeta\Big(1+\frac{l}{m}\Big) \in N }}$ $l$ debe ser mayor que algunos de los grandes entero positivo, pero no veo cómo este enfoque va a resolver el problema general.
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