Rol de la matriz de peso$M$ en$x^T M u$ en la función de costo LQR

Question

Me pregunto cuál es el papel de la matriz de ponderación$M$ en el índice de rendimiento

ps

para un problema de control óptimo donde$$J = \int_0^{t_f}{\left( x^T Q x + u^T R u + x^T M u \right) \mathrm d t}$$$\dot x=Ax+Bu$ u $ es la variable de diseño. Específicamente, me refiero al efecto cualitativo de dicha matriz de peso en el problema controlado resultante. ¿Cómo afecta el rendimiento del controlador y la estabilidad del sistema de circuito cerrado?

Answer 1

Creo que este índice de rendimiento se utiliza cuando, además de la minimización de los estados y señal de control (representada en los términos de $x^TQx$$u^TRu$), uno también está interesado en minimizar algunos de señal de salida $$ y = Cx + Du.$$ para la seguridad o restricciones duras, por ejemplo (o el seguimiento de una de salida--- esto depende de la naturaleza del modelo utilizado).

En este caso, la expansión de la ponderación de la norma $y^TNy$, para algunos positiva definida la matriz de $N$, por lo general resulta en la cruz entre los $x$ $u$ (que está representado por $x^TMu$).

Puedes mirar en esta situación de la siguiente manera: no estamos interesados sólo en la minimización de una norma del estado y una norma de las entradas, de forma individual, por la costumbre razones conocidas, pero también estamos interesados en la minimización de funciones lineales de ambos $x$$u$. En este caso, usted puede escribir el índice de rendimiento en términos de un único término $$ \begin{bmatrix}x^T& u^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q & \frac{1}{2}M\\ \frac{1}{2}M & R \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ u \end{bmatrix}.$$ En otras palabras, trabajamos con un concatinated vector $ z:=\begin{bmatrix}x\\ u \end{bmatrix}$, y estamos interesados en la minimización de una ponderado de la norma$\|z\|_S$.

En el caso estocástico, esto corresponde a la minimización de la varianza de error en la señal de salida. Tenga en cuenta que la señal de salida no tiene que ser dado como un estado (debido a que los estados, en muchos de los modelos que no son incluso física y que no se puede medir)