Para una función continua$f$ satisfactorio$f(f(x))=x$ tiene exactamente un punto fijo

Question

Deje $f \colon [ 0, 1] \to [0, 1]$ ser un mapa continuo tal que $$ f\big( f(x) \big) = x \ \mbox{ for each } x \in [0, 1], $$ y $$ f(x) \neq x \ \mbox{ for at least one } x \in [0, 1], $$ entonces, ¿cómo demostrar que $f$ tiene exactamente un punto fijo en $[0, 1]$?

Sé (cómo mostrar) que $f$ tiene al menos un punto fijo en $[0, 1]$.

Supongamos que $u \in [0, 1]$ es tal que $f(u) \neq u$. Supongamos, además, que $p, q \in [0, 1]$ satisfacer $f(p) = p$$f(q) = q$.

¿Qué es lo siguiente? Podemos llegar a una contradicción?

Por supuesto, $$ f\big( f(u) \big) = u, $$ así que $$ f \big( f(u) \big) \neq f(u). $$

Contexto:

Esta es la Prob. 1.2 en el libro Una Introducción A la Métrica de los Espacios Y de Punto Fijo Teoría por Mohamed A. Khamsi y William A. Kirk.

Answer 1

$f$ es injective, ya que$f(x)=f(y) \implies f(f(x))=f(f(y)) \implies x=y$. Ahora, cada función continua inyectiva es monótona. Ahora, por el teorema del punto fijo de Brouwer, hay al menos un punto fijo. Si hay dos puntos fijos$x_1 > x_2$, entonces$f(x_1)>f(x_2)$ ie$f$ es monotono en aumento. Ahora, existe$x_0$ tal que$f(x_0) \neq x_0$. Supongamos,$f(x_0)>x_0$. Entonces $f(f(x_0))>f(x_0) \implies x_0>f(x_0)$. Contradicción.

Si$f(x_0)<x_0$ llegamos a la misma contradicción.

Answer 2

Evidentemente $f$ es en y uno-a-uno, por lo que sea (un) $f(0) =0 $ $f(1)=1 $ o (b) $f(0)=1$ $f(1) =0$

También, debido a $f$ es continua y un bijection, $f$ es estrictamente monótona.

En el caso de $(b)$ no es difícil ver que $f$ tiene exactamente un punto fijo (dejo esto como una tarea para usted).

Queda por demostrar que $(a)$ no puede suceder. Así que supongamos $f(0)=0, f(1)=1$ y supongamos $f(x_0) \neq x_0$ algunos $x_0$, suponga $f(x_0) < x_0$. A continuación,$f(f(x_0))= x_0 > f(x_0)$. y $f$ no está aumentando. Una similar reaoning se aplica si $f(x_0)>x_0$

Answer 3

No es difícil ver que si

• si $f(x)$ no es inyectiva, entonces $f(f(x))$ no es inyectiva.
• si $f(x)$ no es surjective, a continuación, $f(f(x))$ no es surjective.

Así que desde $f(f(x))=x$ es bijective (en $[0,1]$), por lo que es $f(x)$. Esto hace que sea estrictamente creciente o estrictamente bajándolo en $[0,1]$.

No puede ser estrictamente creciente, porque entonces

$$x>f(x) \implies f(x)>\underbrace{f(f(x))}_x \implies f(x)>x.$$

Pero estrictamente una función decreciente tiene, obviamente, una sola intersección con cualquier estrictamente creciente en función, por ejemplo, la función de $g(x)=x$. Pero intersecciones con $g$ son exactamente los puntos fijos.