Grupo de un parámetro para esferas

Question

Deje $S^1$ ser la unidad de la esfera de $x_1^2+x_2^2=1$ $\mathbb{R}^2$ y deje $X=S^1\times S^1\in\mathbb{R}^4$ con la definición de las ecuaciones de $f_1=x_1^2+x_2^2-1=0, f_2=x_3^2+x_4^2-1=0$. El campo de vectores $$w=x_1\frac\partial{\partial x_2}-x_2\frac\partial{\partial x_1}+\lambda\left(x_4\frac\partial{\partial x_3}-x_3\frac\partial{\partial x_4}\right)$$ ($\lambda\in\mathbb{R}$) is tangent to $X$ and hence defines by restriction a vector field $v$ on $X$. What is the one-parameter group of diffeomorphisms that $v$ genera?

La definición de un parámetro del grupo de diffeomorphisms que estoy usando es el siguiente:

Deje $U$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ $F : U \times \mathbb{R} \rightarrow U$ $C^{\infty}$ asignación. La familia de las asignaciones de $f_t: U \rightarrow U$ , $f_t(x) = F(x, t)$ se dice que es un parámetro del grupo de diffeomorphisms de $U$ si $f_0$ es la identidad mapa y $f_s \cdot f_t = f_{s+t}$ para todos los s y t.

He resuelto a conseguir que la integral de la curva está dada por $$\gamma(t)=(\cos(t-a),\sin(t-a),\cos(b-\lambda t),\sin(b-\lambda t))$$ for arbitrary constants $a,b$. Given an arbitrary point $x=(\cos a,\pecado,\cos b,\pecado b)\S^1\times S^1$, I want to say that the one-parameter group is $$f_t(x)=(\cos(t-a),\sin(t-a),\cos(b-\lambda t),\sin(b-\lambda t))$$

Pero hay un problema: $f_0(x)=(\cos(-a),\sin(-a),\cos b,\sin b)=(\cos a,-\sin a,\cos b,\sin b)\neq x.$ ¿Qué puedo hacer aquí?

Answer 1

De acuerdo a su propia solución, solo dejo $a$ $b$ igual a cero.

Puede que también desee considerar el modelo de toro (en$\mathbb C^2$), y el de un grupo de parámetros es geométricamente más tangibles: $$\{e^{i2\pi\theta},e^{i2\pi\lambda\theta})|\theta\in\mathbb R\}$$ Llegando a este punto, puede que desee investigar si $\lambda$ es un número racional o no. Si $\lambda$ es un número racional, decir $\frac{m}{n}$, entonces su grupo de parámetros se parece a (después de reparametrization): $$\{e^{i2\pi\theta/m},e^{i2\pi\theta/n})|\theta\in\mathbb R\}$$ que se ve fácilmente con vocación de continuidad. Y por lo tanto, es diffeomorphic a la $S^1\simeq\mathbb R/[m,n]\mathbb Z$ (donde $[m,n]$ es el mínimo común múltiplo de a$m$$n$). Si $\lambda$ no es un número racional, de un grupo de parámetros se vaya y sin siquiera venir a la vuelta a la partida. Y por lo tanto es diffeomorphic a $\mathbb R$.