Maximización de la integral de expectativas dada la desigualdad PDF

Question

He encontrado un artículo que, en el contexto de una de sus pruebas, toma una cota superior de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y la convierte en una cota de su valor esperado.

En concreto $X$ sea una variable aleatoria con PDF $f$ . El resultado es que si $$P(X \geq x) = \int_x^\infty f(\gamma) d\gamma \leq 2 e^{-2mx^2}$$ entonces $$E\left[e^{2(m-1)X^2}\right] = \int_0^\infty f(\gamma)e^{2(m-1)\gamma^2} d\gamma \leq 4m.$$

El documento propone una prueba que dice que la primera restricción se cumple con igualdad para $g(\gamma) = 8 m \gamma e^{-2m\gamma^2}$ y que esta distribución maximizará la expresión del valor esperado. Para esta distribución se puede calcular que el valor esperado es $E\left[e^{2(m-1)X^2}\right] = \int_0^\infty 8 m \gamma e^{-2m\gamma^2}e^{2(m-1)\gamma^2} d\gamma = 4m$ .

Creo que el resultado es cierto (se me ocurrió una prueba diferente), pero estoy confundido acerca de la validez de este argumento. ¿Por qué es cierto que una distribución, $g$ que logre la igualdad en la primera restricción también maximizará la expresión del valor esperado?

Si fuera cierto que para tal $g$ sabíamos $g(\gamma) \geq f(\gamma)$ para cualquier $f$ satisfaciendo la primera desigualdad, entonces podría ver por qué este argumento es válido. Sin embargo, no creo que sea necesariamente cierto. Consideremos el siguiente contraejemplo. Supongamos que $\int_x^1 f(\gamma) d\gamma \leq 1 - x$ . La igualdad puede lograrse para $g(\gamma) = 1$ . Sin embargo, $f(\gamma) = 3/2 e^{-\gamma}$ también cumple la desigualdad y sin embargo no es cierto que $ 3/2 e^{-\gamma} \leq 1$ para todos $\gamma$ .

Así que me pregunto si este argumento es válido y, en caso afirmativo, cómo.

Answer 1

$\def\e{\mathrm{e}}\def\d{\mathrm{d}}$ En efecto, el argumento utilizado en el documento es erróneo. He aquí una prueba utilizando la integración por partes.

Para cualquier $f$ satisfaciendo $$ \int_x^{+\infty} f(u) \,\d u \leqslant 2\e^{-2mx^2}, \quad \forall x > 0 $$ utilizando el teorema de Tonelli, \begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}}{} \int_0^{+\infty} f(u) \e^{2(m - 1)u} \,\d u = \int_0^{+\infty} f(u) \left(1 + 2(m - 1) \int_0^u \e^{2(m - 1)v} \,\d v\right) \d u \\ &= \int_0^{+\infty} f(u) \,\d u + 2(m - 1) \int_0^{+\infty} \int_0^u f(u) \e^{2(m - 1)v} \,\d v \d u\\ &= 1 + 2(m - 1) \int_0^{+\infty} \int_v^{+\infty} f(u) \e^{2(m - 1)v} \,\d v \d u\\ &= 1 + 2(m - 1) \int_0^{+\infty} \e^{2(m - 1)v} \,\d v \int_v^{+\infty} f(u) \,\d u\\ &\stackrel{(1)}{\leqslant} 1 + 2(m - 1) \int_0^{+\infty} \e^{2(m - 1)v} \,\d v \int_v^{+\infty} g(u) \,\d u\\ &= \int_0^{+\infty} g(u) \e^{2(m - 1)u} \,\d u = 4m. \end{align*}

Para lograr la igualdad, a partir de (1) hay $$ \int_x^{+\infty} f(u) \,\d u = \int_x^{+\infty} g(u) \,\d u, \quad \forall x > 0 $$ es decir $$ \int_x^{+\infty} (f(u) - g(u)) \,\d u = 0, \quad \forall x > 0 $$ así $f = g\ \text{a.e.}$

Answer 2

Tal y como se solicitó, vuelvo a publicar el argumento aquí. Veamos $X^*$ sea una variable aleatoria continua con pdf $$ f_{X^*}(x) = 8mxe^{-2mx^2}, m > 0$$

No se especifica el soporte, por lo que supongo que al autor sólo le preocupa el comportamiento de la cola. Supongamos que el soporte es $[\underline{x}, +\infty)$ . La función de supervivencia viene dada por

$$ \Pr\{X^* \geq x\} = \int^{+\infty}_x 8mue^{-2mu^2}du = 2e^{-2mx^2}, x \geq \underline{x}$$

y podemos calcular $\underline{x}$ de todos modos (no es importante) $$ 2e^{-2m\underline{x}^2} = 1 \Rightarrow \underline{x} = \underline{x} = \sqrt{ \frac {\ln 2} {2m}}$$

Defina

$$ \mathcal{X}=\left\{X: \Pr\{X \geq x\} \leq 2e^{-2mx^2} ~\forall x \geq \underline{x}, m > 0, \Pr\{X \geq 0\} = 1 \right\}$$

sea la colección de variables aleatorias que satisfacen la restricción de desigualdad dada. Entonces, a partir del cálculo anterior $X^* \in \mathcal{X}$ y $$ \Pr\{X^* \geq x\} \geq \Pr\{X \geq x\} ~~ \forall x \in \mathbb{R}, X \in \mathcal{X} $$

Y esta es la definición habitual de $X^*$ dominante estocástica de primer orden $X$ (para cada $X \in \mathcal{X}$ ). Del enlace https://ocw.mit.edu/courses/economics/14-123-microeconomic-theory-iii-spring-2015/lecture-notes-and-slides/MIT14_123S15_Chap4.pdf P.1-3, explicaba este término y demostraba que para toda función débilmente creciente $u$ también tenemos

$$ E[u(X^*)] \geq E[u(X)] ~~ \forall X \in \mathcal{X}$$

y esta es otra definición equivalente a la anterior. La prueba está escrita allí y es bastante clara por lo que no creo que sea necesario volver a escribir línea por línea. Si hay alguna duda podemos discutirlo después.

Lo último es comprobar la función dada $h(x) = e^{2(m-1)x^2}$ es débilmente creciente (en $[\underline{x}, +\infty)$ )- sólo requiere $m > 1$ .

Answer 3

Creo que el argumento del documento es válido. Gracias a la explicación de @BGM y a la referencia que ha dado ahora veo cómo justificarlo. Sólo vuelvo a publicar el argumento aquí de forma un poco más explícita, ya que la notación y el vocabulario de la referencia de @BGM son un poco diferentes y para mí la conexión no era obvia.

La restricción que se nos impone es que $$ \int_x^\infty f(\gamma) d\gamma \leq \int_x^\infty g(\gamma) d\gamma = e^{-2mx^2} \quad \forall x>0 $$ y queremos demostrar que $$ \int_0^\infty u(\gamma) f(\gamma) d\gamma \leq \int_0^\infty u(\gamma) g(\gamma) d\gamma $$ donde $u(\gamma) = e^{2(m-1)\gamma^2}.$

De forma equivalente, si suponemos que $X$ y $Y$ son variables aleatorias con soporte $(0, \infty)$ y $X$ tiene distribución $f$ y $Y$ tiene distribución $g$ queremos mostrar $E[u(X)] \leq E[u(Y)]$ .

La primera desigualdad es equivalente a una desigualdad de la FDA de $X$ y $Y$ , $F$ y $G$ respectivamente. En concreto, tenemos $F(x) \geq G(x)$ desde $$ F(x) = 1 - \int_x^\infty f(\gamma) d\gamma \geq 1 - \int_x^\infty g(\gamma) d\gamma = G(x) \quad \forall x > 0. $$

Observamos que $F$ y $G$ son funciones crecientes con $F(0) = G(0) = 0$ y $F(x) = G(x) = 1$ como $x \to \infty$ tenemos $F^{-1}(p) \leq G^{-1}(p)$ y como CDFs sus derivadas son las distribuciones, es decir $dF/d\gamma = f(\gamma)$ y $dG/d\gamma = g(\gamma)$ .

El resultado deseado se deduce ahora de una $u$ -sustitución $p=F(\gamma)$ y un $u$ -sustitución de vuelta, $p = G(\gamma)$ : $$ \int_0^\infty u(\gamma) f(\gamma) d\gamma = \int_0^1 u(\gamma) f(\gamma) \frac{dp}{f(\gamma)} = \int_0^1 u(F^{-1}(p)) dp \leq \int_0^1 u(G^{-1}(p)) dp = \int_0^\infty u(\gamma)g(\gamma) d\gamma $$ donde la desigualdad se deduce porque $u$ es una función creciente.

En resumen, esto dice que si tenemos una cota superior en la función de supervivencia de una variable aleatoria, podemos utilizar una distribución que alcance la igualdad con esta cota para establecer una cota en el valor esperado de cualquier función creciente de la variable aleatoria.