Conexión lineal en un colector: Matemáticas vs. Física

Question

He aprendido algo de Geometría Riemanniana en un marco fuertemente matemático, precisamente del libro "J.M.Lee - Riemannian Manifolds: An introduction to Curvature". Ahora estoy intentando aprender Relatividad del libro de Wald, pero tengo muchos problemas para hacer coincidir las nociones de Geometría Riemanniana del marco matemático con el físico.

Consideremos la noción de conexión lineal: Para mí una conexión lineal $\nabla$ es una función $$\nabla:\mathcal T(M)\times\mathcal T(M)\longrightarrow\mathcal T(M)$$ $$(X,Y)\longmapsto \nabla_XY$$ donde $\mathcal T(M)$ es el $C^\infty(M)$ -módulo de campos vectoriales sooth (secciones del haz tangente). Esta función $\nabla$ tiene ciertas propiedades que permiten escribir $\nabla_XY$ en coordenadas locales. Sé que existe una forma esencialmente única de definir una conexión (Koszul) $\overline\nabla$ en un campo tensorial a partir de $\nabla$ y con la conexión $\overline\nabla$ Puedo definir una derivada covariante total para campos tensoriales. Todos estos razonamientos se hacen sin cálculos en coordenadas, pero utilizando fuertemente el "Tensor Characterization Lemma".

Wald en cambio dice que una derivada covariante es una forma de asociar a un campo tensorial $T\in\mathcal T^{(k,\ell)}(M)$ otro campo tensorial $\nabla T\in T^{(k,\ell+1)}(M)$ escrito en notación de índice como $$\nabla_c{T^{a_1,\ldots,a_k}}_{b_1,\ldots,b_\ell}$$ que cumpla determinadas condiciones. Ahora bien, aunque entiendo la notación abstracta de índice (de hecho reconozco que $\nabla_c{T^{a_1,\ldots,a_k}}_{b_1,\ldots,b_\ell}$ es un $(k,\ell+1)$ -tensor) No entiendo cómo este enfoque coincide con el anterior.

Gracias de antemano.

Answer 1

Su primera definición de $\nabla$ a menudo se denomina derivada covariante de un campo vectorial. De forma más general, se puede definir una conexión $\nabla$ en un haz vectorial $E$ como un mapa entre secciones en $E$ $$\nabla:\Gamma(E)\to\Gamma(E\otimes T^*M)\qquad\text{satisfying}\qquad\nabla(fe_1+e_2)=e_1\otimes\mathrm{d}f+f\nabla e_1+\nabla e_2$$ para $e_i\in\Gamma(E)$ y $f\in C^\infty(M)$ . Este es el enfoque de Wald.

Por otro lado, si se "inserta" un campo vectorial $X\in\mathcal{T}(M)$ en el segundo componente, se obtiene un mapa $$\nabla:\Gamma(E)\times\mathcal{T}(M)\to\Gamma(E)$$ que comúnmente se denomina $\nabla e(X)\equiv\nabla_X e$ y en el caso de $\Gamma(E)=\mathcal{T}(M)$ es exactamente como Lee introduce una conexión lineal.

Sin embargo, no estoy seguro de que las dos nociones puedan resumirse como "Matemáticas frente a Física", ya que ambas se utilizan en matemáticas (que yo sepa).