Ring-Homomorphism from$\mathbb{Z}_{2}$ to$\mathbb{Z}_{2n}$

Question

Permita que$n$ sea un entero positivo. Entonces el problema es mostrar que hay un homomorfismo de anillo de$\mathbb{Z}_{2}$ a$\mathbb{Z}_{2n}$ si y solo si$n$ es impar.

Mi esfuerzo: permita que$\phi$ sea un homomorfismo en anillo (aparte del mapa cero). entonces si$\phi(1)\ =\ a$ y$1.1\ =\ 1$ en$\mathbb{Z}_{2}$ así que en$\mathbb{Z}_{2n}$ debemos tener$a^{2}\ =\ a$. Además,$\phi(1+1)\ =\ \phi(0)\ =\ 2a$ y así$|2a|$ debe dividir$2n$. Pero no puedo deducir nada de esto.

Gracias

Answer 1

Si$n$ es par, entonces$$n^2=2^2(n/2)^2=4(n/2)(n/2)=(2n)(n/2)=0$ $

pero en ese caso,$n^2=n$ so$n$ no es par (es decir,$n$ es impar).

Answer 2

Considere la posibilidad de $\phi : \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_4$

usted debe ser capaz de ver que $\phi(\bar{0})=\bar{0}$ es decir, $\phi(2.\bar{1})=\bar{0}$ es decir, $2.\phi(\bar{1})=\bar{0}$

Ahora la única posibilidad para $\phi(\bar{1})$ excluyendo $\bar{0}$$\phi(\bar{1})=\bar{2}$.

Pero entonces, el mapa debe preservar la multiplicación propiedad también...

Me refiero a que usted debe tener $\phi(\bar{1})=\phi(\bar{1}.\bar{1})=\phi(\bar{1}).\phi(\bar{1})=\bar{2}.\bar{2}=\bar{0}$

así que la única posibilidad que tenemos no está aún bien definido como $\phi(\bar{1})$ es tomar dos valores distintos.

Más generalmente, $\bar{1}$ se debe enviar a $\bar{n}$ y en el caso, por similares reasn como en el anterior,

$\phi(\bar{1})=\phi(\bar{1}.\bar{1})=\phi(\bar{1}).\phi(\bar{1})=\bar{n}.\bar{n}=\bar{n}^2$

el peor de los casos no debemos tener es $n^2$ dividido por $2n$

es decir, $n$ dividido por $2$.. lo que significa que $n$ tiene que ser impar....

Espero que usted puede hacer de otra manera....